Wellengleichung

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Animation; Eine pulsförmige Welle läuft auf einem Seil mit fixierten Enden entlang. Der Vorgang wird durch die Wellengleichung beschrieben. Infolge der Fixierung findet an beiden Enden eine Reflexion mit Vorzeichenumkehr statt.

Die homogene Wellengleichung ist die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

 \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) = 0

für eine reelle oder komplexe Funktion u(t,x_1,\dots, x_n) und einen Parameter c > 0, der die Bedeutung einer Geschwindigkeit hat (x -> ct). Es kann sich um die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum handeln, aber auch, bei Schallwellen, um eine Schallgeschwindigkeit. Auch andere Interpretationen sind zugelassen.

Die Gleichung heißt auch d'Alembert-Gleichung und zählt zu den hyperbolischen Differentialgleichungen.

Mit Hilfe des d’Alembert-Operators

\square = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta,

wobei \Delta den Laplace-Operator bezeichnet, wird die Gleichung kurz als

\square u = 0

notiert.

Die Substitution t'=c\,t absorbiert den Faktor c^2 in der Wellengleichung, sie hat dann die Form wie für c=1 (siehe auch natürliche Einheiten).

Die Lösungen der Wellengleichung heißen auch Wellen. Diese überlagern sich ohne gegenseitige Beeinflussung und breiten sich unabhängig von eventuell vorhandenen weiteren Wellen aus. Da die Koeffizienten der Wellengleichung nicht vom Ort oder der Zeit abhängen, verhalten sich Wellen unabhängig davon, wo oder wann man sie anregt. Verschobene oder verspätete Wellen sind daher ebenfalls Lösungen der Wellengleichung.

Unter der inhomogenen Wellengleichung versteht man die linear inhomogene partielle Differentialgleichung

 \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}- \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) = v(t,x_1\dots x_n)\,.

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer räumlichen Dimension[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stehende Welle als Überlagerung einer nach rechts laufenden und einer nach links laufenden Welle.

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension

\frac 1{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0

hat die allgemeine Lösung

u\left(t, x\right) = f(x + ct) + g(x - ct)

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x)\, und g(x)\,. Dabei ist der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links und der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts mit unveränderter Form laufende Welle. Die Funktionen f(x)\, und g(x)\, werden auch Riemann-Invarianten genannt. Die Geraden x \pm ct sind die Charakteristiken der Wellengleichung.

Die Funktionen f und g lassen sich als Linearkombination von Kosinus-Funktionen

 \cos(k x - \omega t + \varphi)

oder von komplexen Exponentialfunktionen

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x - \omega t)}\,

schreiben:

u(t,x)=\text{Re}\int\mathrm d k\,a(k)\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\, x -\omega\,t)}

Dabei hängt die Frequenz durch

\omega = |k|\,c

mit der Wellenzahl |k|\, zusammen. Die Phase \varphi{(k)} steckt dabei in der komplexen Amplitude a(k).

Lösung mit vorgegebenen Anfangswerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei also u\left(t,x\right) = f(x + ct) + g(x - ct) die allgemeine Lösung der Wellengleichung und u\left(0,x\right)=\phi (x) sowie \tfrac{\partial u}{\partial t} \left(0,x\right)=u_t(0,x)=\psi (x) zwei Anfangsbedingungen, dann folgt:

\phi(x)=u\left(0,x\right)=f(x)+g(x)
\psi(x)=u_t\left(0,x\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)

Integration der zweiten Gleichung ergibt:

f(x)-g(x)=\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi,

Durch Auflösen erhält man:

f(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)
g(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_x^{x_0} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

Die Lösung der Wellengleichung unter den obigen Anfangsbedingungen lautet demnach (Formel von d'Alembert, 1740er Jahre):

u(t,x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x+ct)+\phi(x-ct)+\frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

Das lässt sich anschaulich durch das Dreieck aus dem Punkt P= (x,t), in dem der Wert der Lösungsfunktion u bestimmt werden soll, und den Punkten A= (x-ct, 0) und B= (x+ct, 0), den Schnittpunkten der Charakteristiken der Wellengleichung (den Geraden x =x_0 \pm ct) durch P mit der x-Achse, beschreiben. Der Wert der Lösung u in P ist gleich dem arithmetischen Mittelwert aus den Anfangswerten in A, B plus t \,\overline {\psi}, dem Produkt aus der Zeit t und dem über das Intervall zwischen A, B gemittelten Wert der Anfangswerte der Geschwindigkeit \psi (x_0). Der Abschnitt der x-Achse zwischen A, B markiert den Einflussbereich für eine Lösung der Wellengleichung in P.[1]

Lösungen mit vorgegebenen Randbedingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungen mit vorgegebenen Randbedingungen genügen an den Enden des Seils Forderungen wie u'(t,L)\stackrel != ...\, \, \text{bzw}.\,\, u (t, L)\stackrel != ... , wobei die offen gelassene, durch Punkte angegebene Forderung (meist ... \,\stackrel{!}=0)) festlegt, ob bzw. wie die Welle am jeweiligen Ende mit Vorzeichenwechsel reflektiert wird (Schwingungsknoten), u(t,L)\stackrel{!}{=}0, oder stattdessen am Rand maximal ist (Schwingungsbauch), u'(t,L)\stackrel{!}{=}0, oder ob noch allgemeinere Zusammenhänge bestehen, etwa a(t)\cdot u(t,L)+b(t)\cdot u'(t,L)\stackrel != 0.. Die erste bzw. zweite dieser Randbedingungen werden als Dirichlet-Randbedingung bzw. Neumann-Randbedingung bezeichnet.

Entsprechendes gilt auch im Zwei- und Dreidimensionalen, wobei die Ableitung u' \,\,(=\mathrm du/\mathrm dx) meist durch die Richtungsableitung in Normalrichtung ersetzt und eine „Einspannung“ berücksichtigt wird. Auf einem Trommelfell kann man beispielsweise durch Einspannen höhere Töne erzeugen.

Die Wellengleichung in drei räumlichen Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweidimensionale Darstellung einer (auslaufenden) Kugelwelle

Auch in mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung der Wellengleichung als Linearkombination von ebenen Wellen

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)}\ \text{mit}\ 
\omega = \left|\mathbf k\right| c

schreiben. Solch eine ebene Welle bewegt sich mit Geschwindigkeit c in Richtung von \mathbf k. Bei der allgemeinen Lösung

u(t,\mathbf x)=\text{Re}\int\mathrm d^n k\,a(\mathbf{k})\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k\, \mathbf x -|\mathbf{k}|\,c\, t)}

ist allerdings nicht offensichtlich, wie ihre Anfangswerte mit der Lösung später zusammenhängen.

In drei Raumdimensionen (d=3) lässt sich die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung durch Mittelwerte der Anfangswerte darstellen. Sei die Funktion u(t,\mathbf x) und ihre Zeitableitung zur Anfangszeit t=0 durch Funktionen \phi und \psi gegeben,

u(0,\mathbf x)=\phi(\mathbf x)\,,\ 
\frac \partial {\partial t} u(0,\mathbf x)=\psi(\mathbf x)\,,

dann ist, wenn wir einfachheitshalber c durch 1 ersetzen, die Linearkombination von Mittelwerten

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])

die zugehörige Lösung der homogenen Wellengleichung. Dabei bezeichnet


M_{t,\mathbf x}[\chi]=\frac{1}{4\,\pi}
\int_{-1}^{1}\!\!\mathrm d \cos\theta \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm d \varphi\, 
\chi(\mathbf x + t\mathbf n(\theta, \varphi))\quad \text{mit}\quad 
\mathbf n(\theta, \varphi)=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta
\end{pmatrix}

den Mittelwert der Funktion \chi\,, gemittelt über eine Kugelschale um den Punkt \mathbf x mit Radius |t|\!\,. Insbesondere ist M_{0,\mathbf x}[\chi]=\chi(\mathbf x)\!\,.

Wie diese Darstellung der Lösung durch die Anfangswerte zeigt, hängt die Lösung stetig von den Anfangswerten ab und hängt zur Zeit t am Ort \mathbf x nur von den Anfangswerten an den Orten \mathbf y ab, von denen man \mathbf x in der Laufzeit |t| mit Lichtgeschwindigkeit c=1 erreichen kann. Sie genügt damit dem Huygensschen Prinzip. Für eindimensionale Systeme und in geraden Raumdimensionen gilt dieses Prinzip nicht. Dort hängen die Lösungen zur Zeit t auch von Anfangswerten an Punkten \mathbf y ab, von denen aus man \mathbf x mit geringerer Geschwindigkeit erreicht.

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])
+\int_{\forall \mathbf z\in\mathbb R^3\, ;\, |\mathbf z|=t\, ;\, -,\delta }\!\!\mathrm d^3 z \,
\frac{v( t - |\mathbf z|,\mathbf x + \mathbf z)}{4\pi|\mathbf z|}

hängt am Ort \mathbf x zur Zeit t nur von der Inhomogenität auf dem in die Vergangenheit gerichteten Rückwärtslichtkegel von \mathbf x ab. Dadurch wird unter Anderem die Kausalität repräsentiert. (Hierbei wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen, dass t >0 gilt; trotzdem kann t':=t-|\mathbf z| negativ sein, weil \mathbf z=\mathbf r'-\mathbf r den ganzen Raum durchläuft.) Die Inhomogenität und die Anfangswerte wirken sich auf die Lösung mit Lichtgeschwindigkeit aus. Das Integrationsgebiet ist die Oberfläche des von (\mathbf r,\,t) ausgehende Rückwärtslichtkegels („Vergangenheitslichtkegel“), wobei das „Rückwärts“ und das „auf der Oberfläche“ durch ein "-,δ" angedeutet ist. Diese dritte und vierte Zusatzinformation, wie auch die zweite Bedingung, wird meist weggelassen, da sie implizit bereits mit dem Vorigen gesagt ist.

Speziell sind für r>0 alle Funktionen der Form  f(t,\,\mathbf r) :=\frac{g(r\mp ct)}{4\pi r} Lösungen der homogenen Wellengleichung als elementare auslaufende (bzw. einlaufende) Kugelwellen.[2] Diese spielen in der theoretischen Physik bei dem Begriff der sogenannten Retardierten (bzw. Avanzierten) Greenschen Funktionen quantisierter Felder eine zentrale Rolle.

Retardiertes Potential[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Elektrodynamik ist für u(t, x) eine i. W. äquivalente, etwas einfachere Form üblich, die unter dem Begriff „Retardiertes Potential“ läuft, wobei man z. B. voraussetzt, dass v(\mathbf r) mindestens zweimal stetig differenzierbar ist, für alle Richtungen und Zeiten im Unendlichen stärker als 1/|\mathbf r|^2 gegen Null geht und einer „Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung“ genügt (Superposition auslaufender Kugelwellen, mit Kausalität). Unter diesen Voraussetzungen gilt bei „adiabatischem Einschalten für t=-∞“ (s.u.) nach Wiederherstellung von c einfach [3]

u(t,\mathbf r)=\int_{\text{Alle}\,\, \mathbf r'\in \mathbb R^3 ,\, \text{adiab. Einschalten bei}\, t=-\infty}\mathrm d^3\mathbf r' \frac{v(t-\frac {|\mathbf r'-\mathbf r|}{c},\, \mathbf r')}{4\pi |\mathbf r'-\mathbf r|}

Differenzen zu der früheren Formel (i. W, nur das Fehlen der M-Terme) ergeben sich aus dem von den Physikern implizit oder explizit geforderten „adiabatisch-langsamen Einschalten bei t=-∞“ (siehe Adiabatische Zustandsänderung). Mathematisch entspricht das der Aussage, dass man die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung erhält, indem man zu einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung addiert.

Für die Beziehung der Zeiten t' und t gilt auch hier das oben gesagte. Ohne die Retardierung würde man einfach eine Superposition von instantanen Coulomb-Potentialen erhalten.

Lorentzinvarianz des d'Alembert-Operators[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der d'Alembert-Operator genügt einer ähnlichen, aber andersartigen Invarianz wie der Laplace-Operator: und zwar ist er nicht invariant gegen vierdimensionale Drehungen, sondern gegen Lorentztransformationen. Man hat es also nicht mit dem \mathbb R^4\,\,(=\{x,y,z,ct\}) zu tun, sondern mit dem Minkowski-Raum \mathbb M^4\,\,(=\{ix,iy,iz,ct\}), mit der imaginären Einheit i, i2=-1. Einzelheiten finden sich unter dem letztgenannten Lemma und ebenfalls in [2].

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Fritz John, Partial Differential Equations, Springer 1982, S. 41f
  2. a b  Uwe Krey, Anthony Owen: Basic Theoretical Physics. A Concise Overview. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-36804-5. Siehe die zweite von vier Sektionen.
  3. Alle Lehrbücher der theoretischen Elektrodynamik, unter dem Schlagwort retardiertes Potential