Weyl-Gruppe

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In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine halbeinfache Lie-Gruppe und

ihre Iwasawa-Zerlegung. Es seien der Normalisator von in und der Zentralisator von in . Die Weyl-Gruppe ist definiert als

.

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Wurzelsystem

Es sei ein Wurzelsystem in einem Vektorraum , dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

erzeugte Gruppe die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ist, dann betrachtet man die Cartan-Unteralgebra und das dazugehörige Wurzelsystem . Die Weyl-Gruppe von stimmt mit der Weyl-Gruppe von überein.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe ist die symmetrische Gruppe .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]