Weyl-Gruppe

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In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe[Bearbeiten]

Es sei G eine halbeinfache Lie-Gruppe und

G=KAN

ihre Iwasawa-Zerlegung. Es seien \mathcal{N}_G(A) der Normalisator von A in G und \mathcal{Z}_G(A) der Zentralisator von A in G. Die Weyl-Gruppe ist definiert als

W=\mathcal{N}_G(A)/\mathcal{Z}_G(A).

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems[Bearbeiten]

Hauptartikel: Wurzelsystem

Es sei R ein Wurzelsystem in einem Vektorraum V, dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

\left\{s_\Alpha: \Alpha\in R\right\}

erzeugte Gruppe W die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls G eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra \mathfrak{g} ist, dann betrachtet man die Cartan-Unteralgebra \mathfrak{a}\subset\mathfrak{g} und das dazugehörige Wurzelsystem R. Die Weyl-Gruppe von (\mathfrak{a},R) stimmt mit der Weyl-Gruppe von G überein.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe SL(n,\R) ist die symmetrische Gruppe S_n.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]