Wiener-Filter

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Das Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welches in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt [1] und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.[2] Es führt eine optimale Rauschunterdrückung durch.

Anwendung des Wiener-Filters zur Rauschunterdrückung. (links: Original, Mitte: verrauschtes Bild, rechts: gefiltertes Bild)

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:[3]

  1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
  2. Fehlerkriterium: Minimale quadratische Abweichung

Modelleigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal gestört durch ein additives Rauschen vorausgesetzt.

Das Ausgangssignal ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion :

Fehler und quadratischer Fehler ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal . Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

  • Für  : Prädiktion
  • Für  : Filterung
  • Für  : Glättung

Stellt man als Faltungsintegral dar:

,

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

wobei

  • die Autokorrelation der Funktion
  • die Autokorrelation der Funktion
  • die Kreuzkorrelation der Funktionen und sind

Wenn das Signal und das Rauschen unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

Das Ziel ist es nun, durch Bestimmung eines optimalen zu minimieren.

Stationäre Lösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter der Voraussetzung, dass optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt zu

.

Die Lösung ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von .

Kausale Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wobei

  • die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von ,
  • die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von und
  • die negative Lösung der inversen Laplace Transformation von ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.
  2. Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.
  3. Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.