Wirkung (Physik)

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Physikalische Größe
Name Wirkung
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Js = kg·m2·s−1 M·L2·T−1

Die Wirkung ist eine physikalische Größe mit der Dimension Energie mal Zeit oder Länge mal Impuls. Sie hat also die gleiche Dimension wie der Drehimpuls. Die Wirkung bezeichnet in der theoretischen Physik nicht wie im allgemeinen Sprachgebrauch die Auswirkung einer Ursache, sondern ein Funktional, das die physikalisch durchlaufenen Bahnen in der Menge der denkbaren Bahnen auszeichnet. Die Bewegungsgleichungen der physikalisch durchlaufenen Bahnen besagen, dass bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt die Wirkung der physikalischen Bahn unabhängig von kleinen zwischenzeitlichen Bahnänderungen ist. Diese Bedingung heißt auch Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung.

Wirkung eines Punktteilchens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung jeder zweifach differenzierbaren Bahn , die ein Punktteilchen mit der Zeit von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt durchläuft, den Wert des Integrals

zu. Dabei ist in Newtons Mechanik die Lagrangefunktion eines Teilchens der Masse , das sich im Potential bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie als Funktion der Zeit , des Ortes und der Geschwindigkeit ,

Im Integranden der Wirkung wird für der Ort der Bahn zur Zeit und für seine Zeitableitung eingesetzt. Das Integral dieser verketteten Funktion der Zeit ist die Wirkung der Bahn .

Verglichen mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen, die anfänglich durch und schließlich durch laufen, ist die Wirkung der physikalischen Bahn stationär, denn ihre Bewegungsgleichung

ist die Euler-Lagrange-Gleichung der Wirkung .

Beispiel: harmonischer Oszillator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielsweise ist

die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszillators mit Masse und Federkonstanten .

Die physikalischen Bahnen genügen der Euler-Lagrange-Gleichung, der zufolge zu allen Zeiten die Euler-Ableitung

verschwindet, wenn man für den Ort einsetzt, der zur Zeit durchlaufen wird, und für die Zeitableitung der Bahn .

Die zu gehörigen physikalischen Bahnen erfüllen also

.

Jede Lösung dieser Gleichung ist von der Form

,

wobei die Amplitude der Schwingung und ihre Phasenverschiebung ist.

Zur Zeit durchläuft sie den Ort und zur Zeit den Ort .

Ihre Wirkung ist das Integral

.

Das Integral kann mit dem Additionstheorem

leicht ausgewertet werden, aber das ist für unsere Betrachtungen unerheblich,

.

Auf jeder anderen Bahn

,

die zwischenzeitlich um ein wenig von abweicht, , unterscheidet sich die Wirkung in erster Ordnung in um

Partielle Integration wälzt im ersten Term die Ableitung von ohne Randterme (weil dort verschwindet) mit einem Minuszeichen auf ab und ergibt für alle zwischenzeitlichen Änderungen das Negative des zweiten Terms

Es ist also die Wirkung jeder physikalischen Bahn stationär unter allen zwischenzeitlichen Änderungen.

Bedeutung in der Theoretischen Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist auch grundlegend für

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]