Wronski-Determinante

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Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński (1776—1853) benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für reell- oder komplexwertige Funktionen auf einem Intervall ist die Wronski-Determinante definiert durch

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis -te Ableitung bezeichnen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden, wenn im Fundamentalsystem in der Darstellung der Koeffizient ist.

Kriterium für lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gilt für ein , so sind die Funktionen auf dem Intervall linear unabhängig. Andererseits folgt aus für alle nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen . Das heißt, die Gleichheit bedingt nicht eine lineare Abhängigkeit auf dem Intervall . Denn es gilt, dass die Funktionen lokal linear unabhängig sein können (siehe Gegenbeispiel).

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgehend vom Sturm-Liouville-Problem wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung

mit den Randbedingungen betrachtet. Als Lösungsansatz wird für und beliebige gewählt. Aufgrund der Randbedingungen ist und also und somit für . Als Lösung wird daher

gewählt. Da eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung durch mit gegeben ist (siehe Sturm-Liuoville-Problem), wird als zweite Lösung

angenommen und mittels der Wronski-Determinante auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Es folgt

.

Also ist für (genauer für alle ) und die lineare Unabhängigkeit der Funktionen ist gegeben.

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Gegenbeispiel dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

Für alle gilt

Aber führt für zu und für zu , was die lineare Unabhängigkeit auf beziehungsweise für der beiden Funktionen impliziert. Für gilt und , was lineare Abhängigkeit in bedeutet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995, ISBN 3-519-22227-2, S. 250.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]