Wronski-Determinante

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für reell- oder komplexwertige Funktionen auf einem Intervall ist die Wronski-Determinante definiert durch

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis -te Ableitung bezeichnen.

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden.

Kriterium für lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gilt für ein , so sind die Funktionen auf dem Intervall linear unabhängig.

Gegenbeispiel für die Umkehrung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorsicht: Aus folgt nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen , das heißt, die Umkehrung ist falsch. Es gilt jedoch, dass die Funktionen auf einem Teilbereich linear abhängig sind. Als Beispiel hierfür dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

Für alle gilt

Aber führt für zu und für zu , was die lineare Unabhängigkeit auf beziehungsweise für der beiden Funktionen impliziert. Für gilt und , was lineare Abhängigkeit in bedeutet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Heuser H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995. S. 250.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]