Young-Laplace-Gleichung

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Die Young-Laplace-Gleichung (nach Thomas Young und Pierre-Simon Laplace, die sie unabhängig voneinander 1805 herleiteten) beschreibt den Zusammenhang zwischen der Oberflächenspannung, dem Druck und der Oberflächenkrümmung einer Flüssigkeit.

Tropfen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem kugelförmigen Tropfen, beispielsweise einem kleinen Wassertropfen oder einer Gasblase in einer Flüssigkeit, herrscht aufgrund der Oberflächenspannung \gamma an der Grenzfläche Flüssigkeit/Gas ein um \Delta p erhöhter Druck:

 \Delta p = \frac{2 \cdot \gamma}{r}

mit dem Kugelradius r. Der Druck wird also umso größer, je kleiner der Kugelradius ist.

Verkleinert man den Radius so weit, dass er sich der Größenordnung von Moleküldurchmessern annähert, wird auch die Oberflächenspannung vom Radius abhängig:

 \gamma(r),

so dass die o. g. einfache Gleichung nicht mehr gilt.

Beliebig gekrümmte Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn es sich nicht um eine Kugel handelt, sondern um eine beliebig gekrümmte Fläche, so lautet die Gleichung:

\Delta p = \gamma \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)\;.

Dabei sind r_1 und r_2 die beiden Hauptkrümmungsradien.

Seifenblase[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Druck im Inneren einer Seifenblase ist die Druckdifferenz jeweils doppelt so groß, weil die Seifenhaut zwei Oberflächen Gasphase/Flüssigkeit hat:

  • für kugelförmige Blasen:
 \Delta p = \frac{4 \cdot \gamma}{r}
  • für nicht kugelsymmetrische Körper:
 \Delta p = 2 \gamma \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)

Mehrere Blasen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn sich mehrere Seifenblasen ineinander geschachtelt befinden, muss man jeweils die Summe der Drückbeiträge aller Seifenblasen addieren, die sich auf dem Weg von ganz außen zum betrachteten Hohlraum befinden.

Dies gilt auch, wenn Blasen aneinanderkleben, wie in Blasenketten, -lagen oder einem Schaumpaket. Im einfachsten Fall kleben 2 ident große Blasen aneinander: Die sind kugelig, die Trennwand ist plan. Sind die 2 beteiligten Blasen unterschiedlich groß, haben sie dem Kehrwert ihrer Radien entsprechend unterschiedliche Innendrucke, die Trennwand wölbt sich unter der Druckdifferenz – geringer, also mit größerem Radius. Legt sich eine recht kleine Blase an eine vergleichsweise viel größere, so wird der Druck in der größeren vernachlässibar klein und die Trennwand wird die Kugelform der kleinen Blase ziemlich genau ergänzen. Schaumpakete aus gleich großen Blasen tendieren in ihrem Inneren dazu, plane Facetten als Trennwände zu haben, die Kammern werden also Polyeder sein. Da diese Blasen wie Moleküle eines Kristallgitters ähnlich einer dichten Kugelpackung einrasten, entwickelt Schaum eine gewisse Steife gegen die Blasenanordnung verschiebende Verformung.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Oberfläche A einer Kugel gilt

A = 4 \pi r^2,

für das Volumen

V = \frac{4}{3} \pi r^3.

Bei einer kleinen Änderung des Radius um \mathrm d r sind die Änderungen der Oberfläche

\mathrm dA = 8 \pi r  \mathrm dr,

und des Volumens

\mathrm dV = 4 \pi r^2  \mathrm dr.

Die Arbeit, die zur Veränderung der Oberfläche benötigt wird, ist damit

\mathrm dW = \gamma \mathrm dA = \gamma \cdot 8 \pi r  \mathrm dr,

die zur Änderung des Volumens ist

\mathrm dW = p \mathrm dV = p \cdot 4 \pi r^2 \mathrm dr.

Man erhält die oben angegebene Formel, wenn die beiden Arbeitsbeiträge gleichgesetzt werden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]