Z-Transformation

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Dieser Artikel behandelt die Z-Transformation für zeitdiskrete Signale. Die statistische z-Transformation wird unter Standardisierung (Statistik) beschrieben.

Mit der z-Transformation wurde eine mathematische Methode geschaffen, um zyklisch abgetastete kontinuierliche Signale im Zusammenhang mit dynamischen Systemen im z-Bereich berechenbar zu machen.

Die z-Transformation ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Sie erlaubt für die digitale Signalverarbeitung mit Computern (Mikrocomputern) die Berechnung von impulsförmig abgetasteten und digitalisierten Signalfolgen (Wertefolgen) in Verbindung mit kontinuierlichen dynamischen Systemen G(s) oder den zugehörigen systembeschreibenden linearen Differenzengleichungen y_{(k)}.

Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die Übertragungsfunktion des z-Bereiches G(z) dient der Systemanalyse und dem Systemverhalten. Der Verlauf der Systemausgangsgröße y_{(k)} kann bei gegebener Eingangsgröße u_{(k)} durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich f_{(k)} und dann im Zeitbereich f(t) dargestellt werden.

Die Anwendung der z-Transformation bezieht sich ausschließlich auf Digitalrechner-geführte Anlagen, die Steuer- und Regelungstechnik und digitale Filter.

Einführung in die z-Transformation[Bearbeiten]

Geschichtliche Entwicklung[Bearbeiten]

Die grundsätzlichen Ideen zur Z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurde 1947 durch Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.[Einzelnachweise 1]

Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung Z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.[Einzelnachweise 2] [Einzelnachweise 3]

Die Modifizierte Z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.[Einzelnachweise 4]

Definition der Systemgrößen[Bearbeiten]

Folgende Systemgrößen werden für die verschiedenen f(t)-, F(s)-, f_{(k)}- und  F(z) -Bereiche verwendet:

  • Eingangssignal u(t), Ausgangssignal y(t).
Werden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße als e(t) (Regelabweichung) bezeichnet, die Ausgangsgröße u(t) ist gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke. Die Ausgangsgröße der Regelstrecke ist y(t). Im Zeitbereich werden diese Größen als Kleinbuchstaben, im Bildbereich als Großbuchstaben geschrieben.
  • Zeitdiskrete Signale: f(k \cdot T_A) vereinfacht als u_{(k)} oder y_{(k)}.
  • Zeitkonstante: T, bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert: T_{i}.
  • Diskrete Zeit: {\Delta t} ist ein Parameter der Zeit (Zeitabschnitt), keine reale Zeit.
Bei der rekursiven Simulation mit Differenzengleichungen 1. Ordnung eines dynamischen Systems mit dem Digitalrechner erfolgt keine Abtastung. Jedes berechnete Glied von k der endlichen Ausgangsfolge bezieht sich auf das um k-1 zurückliegende Glied. Auf diese Weise entstehen Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen aller benutzten Differenzengleichungen von Teilsystemen für eine bestimmte Folge von k. Die gleichen Differenzengleichungen werden bis k_\mathrm{max} wiederholt berechnet und gespeichert.
  • Abtastzeit: {T_A} ist eine reale Zeit, üblich ist: {T_A}=\Delta t.
  • Abtastfolge: k = (0, 1, 2, 3, \dots, \infty) unendlichen oder k = (0, 1, 2, 3, \dots, k_\mathrm{max}) einer endlichen Folge.
  • Wertefolge: u_{(k)}=[u(0), u(T_A), u(2T_A), u(3T_A), \dots]
Die Abtastfolge k=(0, 1, 2, 3, \dots) bedeutet eine Nummerierung der Folgeglieder der Wertefolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) oder des Ausgangssignals (Ausgangsfolge) eines Systems.
  • Funktion im Zeitbereich: f(t) und f_{(k)}; Funktion im Bildbereich: F(s) und F(z).
  • Zählergrad: m und Nennergrad: n kennzeichnen die Rangfolge der Koeffizienten der s-Übertragungsfunktion und der z-Übertragungsfunktion.
  • e = Eulersche Zahl ≈ 2,71828.

Grundlagen z-Transformation[Bearbeiten]

Die Laplace-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlichen Signalen und linearen zeitinvarianten dynamischen Systemen.

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben.

Zeitinvariante lineare dynamische Systeme g(t) haben mindestens einen Systemeingang und einen Systemausgang für das Eingangssignal u(t) und Ausgangssignal y(t). Das Systemverhalten wird im Zeitbereich durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben. Mit der Laplace-Transformation kann eine gewöhnlich Differentialgleichung in den sogenannten Bildbereich G(s) (s-Bereich, komplexer Frequenzbereich) überführt werden. Das Systemverhalten im Bildbereich wird durch die s-Übertragungsfunktion bestimmt und kann algebraisch behandelt werden.

Diskrete Zeit: Die Zeitdiskretisierung eines kontinuierlichen Signals oder eines dynamischen zeitinvarianten Übertragungssystems bedeutet der Übergang der Berechnung eines kontinuierlichen Signals oder Systems f(t) mit unendlicher hoher Auflösung zu einem Signal oder Systems f(kT_A) mit einer endlichen Auflösung eines fortlaufenden konstanten Zeitintervalls T_A. Das Zeitintervall T_A muss genügend klein sein, damit dominante Systembewegungen auch erfasst werden können, bzw. der Approximationsfehler gegenüber dem Verlauf der analytische Funktion gering ist. Es werden hier zur Kennzeichnung der physikalischen Unterschiede der Zeitdiskretisierung folgende Definitionen festgelegt:

  • \Delta t ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. \Delta t wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet.
  • T_A (auch T_0 oder T) ist eine reale Zeit, mit der ein kontinuierliches Signal im Takt von T_A abgetastet wird.
Ideale Abtastung eines kontinuierlichen Signals f(t) im Abstand T_A durch eine Sample-and-Hold-Schaltung nullter Ordnung.

Abtastfolge und Wertefolge: In der Mathematik wird eine Auflistung von endlich und unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten als Folge bezeichnet.

Die Abtastfolge k=(0, 1, 2, 3, \dots) bedeutet eine Nummerierung der Folgeglieder der Wertefolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) und des Ausgangssignals (Ausgangsfolge) eines Systems.

Eine Wertefolge besteht aus k_\mathrm{max} oder k= \infty vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt. Die abgetasteten und digitalisierten Signale entsprechen einer Folge von modulierten impulsförmigen Signalen u(kT_A) im Abstand T_A, die erst nach der A/D-Wandlung mit einer Haltestufe zu einem gestuften quasi kontinuierlichem Signal u(t) werden.

Die z-Transformierten und die Laplace-Transformierten verhalten sich ähnlich bei der algebraische Behandlung der Einzelsysteme des z- und s-Bereichs und in den Transformations-Rechenregeln. Sowohl im z- wie auch im s-Bereich lassen sich die Übertragungsfunktionen G(z) oder G(s) der dynamischen Systeme mittels Nullstellenzerlegung der Systemanalyse und Systemsynthese unterziehen.

Trotz der ähnlichen Eigenschaften der z-Transformierten im Vergleich zur s-Transformierten besteht bei der Behandlung von Signalen und dynamischen Systemen mit der z-Transformation ein höherer mathematischer und signaltechnischen Schwierigkeitsgrad.

Während die Laplace-Transformation sich mit Signalen und dynamischen Systemen f(t) des Zeitbereichs zur Wandlung in den Bildbereich F(s) und umgekehrt, mit der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich befasst, hat die Behandlung mit der z-Transformation zum z-Bereich weitere mathematische Zwischenformen. Es handelt sich bei der z-Transformation um die Beziehungen der Signale und dynamische Systeme vom Zeitbereich in den:

  • Zeitdiskreten Bereich f(kT_A): Kontinuierliche Signale u(t) werden zu Signalfolgen impulsförmig abgetastet mit der Folge k=[0, 1, 2, 3, \dots] zu Wertefogen u(kT_A)=[u_0(0), u_1(1T_A), u_2(2T_A), u_3(3T_A), \dots] im zeitlichen Abstand T_A.
  • Digitale Signalberechnung mit Differenzengleichungen y_{(k)}=f[ \Delta t, T, k, k-1, u_{(k)}],
  • Überführung in den z-Bereich F(z) und zurück in den diskreten Zeitbereich f(kT_A) und Zeitbereich f(t).

Bezeichnung der Transformationen im f(t)-, F(s)-, f_{(k)}- und F(z)-Bereich:

  • Laplace-Transformierte einer Zeitfunktion f(t) ergibt sich zu:
F(s)= \mathcal L \{f(t) \}
  • Inverse Laplace-Transformation von F(s):
f(t)= \mathcal L^{-1} \{F(s) \}
  • z-Transformierte einer Wertefolge f_{(k)}:
F(z)= \mathcal Z \{f_{(k)} \}
  • Inverse z-Transformation von F(z):
f_{(k)}= \mathcal Z^{-1} \{F(z) \}

z-Transformation von Abtastsignalen[Bearbeiten]

Die z-Transformation eines abgetasteten Signals F^*(s)=\mathcal L \{f^*{(t)} \} entspricht dem Austausch der komplexen Variable s=\sigma + j \omega der s-Transformierten durch die komplexe z-Variable z=e^{sT_A}. Dadurch wird eine unendliche Summe der Exponentialterme in eine Potenzreihe in z^{-k} überführt (spezielle Laurent-Reihe).

F(z)=\mathcal Z \{f^*{(t)} \}=\left. \mathcal L \{f^*{(t)} \} \ \right|_{z=e^{sT_A}}=\sum_{k=0} ^\infty f(kT_A) \cdot e^{-k}=f_0+f_1 \cdot z^{-1}+f_2 \cdot z^{-2}+f_3 \cdot z^{-3}+\dots

Für die z-Transformation eines zeitdiskreten Eingangssignals u(kT_A) in vereinfachter Schreibweise u_{(k)} gilt:

U(z)=\sum_{k=0} ^\infty u_{(k)} \cdot e^{-k}

Grundlagen Differenzengleichungen für lineare zeitinvariante Systeme[Bearbeiten]

Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines dynamischen Systems g(t) oder im Zusammenhang mit der z-Transformation werden Differenzengleichungen y_{(k)}=f(System, k, k-1, \Delta t, u_{(k)}) benötigt. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten, die Systemausgangsgröße y(t), dynamischer Systeme g(t) für ein gegebenes Eingangssignal u(t) im zeitdiskreten Bereich f(k\Delta t) berechnen.

Differenzengleichungen entstehen meist aus systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.

Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall \Delta t die Signaländerungen nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Teilsystems (Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals. Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall \Delta t und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit k_\mathrm{max} \cdot \Delta t .

Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.

Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion G(s) zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil nur 4 verschiedene Typen von Differenzengleichungen erster Ordnung existieren, mit denen alle Formen von linearen Übertragungssystemen gebildet werden können, auch solche mit Schwingungsanteilen mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen. Diese Teilsysteme können beliebig multiplikativ, additiv oder zurück gekoppelt vermascht sein und gelten sowohl für den s-Bereich wie auch im diskreten Zeitbereich.

Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das explizite Euler-Rückwärtsverfahren der Rechteckapproximation als einfachstes Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme G(s) erster Ordnung der Übertragungsfunktionen Differenzengleichungen gebildet werden, indem an Stelle des Differenzialquotienten mit dy / dt der Differenzenquotient \frac {\Delta y}{\Delta t}=\frac {y_{(k)}- y_{(k-1)}} {\Delta t} näherungsweise eingeführt wird.

In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei t = 0 für y_{(0)}=0 und alle Ableitungen von y_{(0)} Null sind.

Beispiel der Entwicklung der Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:

Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet:
\ G(s)=\frac {Y(s)} {U(s)}=\frac 1{T_I\cdot s}

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

 T_I \cdot \dot y(t) = u(t)

Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten \dot y(t) eingesetzt.
Anstelle der kontinuierlichen Systemgsgrößen y(t) und u(t) treten die aktuellen zeitdiskreten Werte y(k \Delta t) = y_{(k )} und u(k \Delta t)=u_{(k)}:

 T_I \cdot \frac {y_{(k)} - y_{(k-1)}} {\Delta t} = u_{(k)}.

Damit lautet die nach y_{(k)} umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes:

y_{(k)} = y_{(k-1)} + u_{(k)} \cdot \frac {\Delta t} {T_I}

In gleicher Weise können die Differenzengleichungen von Systemen erster Ordnung aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden.

Tabelle der Differenzengleichungen (Euler-Rückwärts) der Elementarsysteme G(s) erster Ordnung
Elementarsysteme P-Glied I-Glied D-Glied PD1-Glied PT1-Glied
Übertragungsfunktion \frac Y U(s) = K \frac Y U(s)= \frac 1{T\cdot s} \frac Y U(s)= T\cdot s \frac Y U(s)=K \cdot(T\cdot s+1) \frac Y U(s)=\frac K {T\cdot s+1}
Differenzengleichungen
y_{(k)} = \,
 y_{(k)} = K \cdot u_{(k)}  y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T} [u_{(k)}-u_{(k-1)}]\cdot \frac {T}{\Delta t}  K_{PD1} \cdot \left[u_{(k)} + (u_{(k)}-u_{(k-1)})\cdot \frac {T}{\Delta t}\right]  y_{(k-1)}+[K_{PT1}\cdot u_{(k)}-y_{(k-1)}] \cdot \frac {\Delta t}{T+\Delta t}

(Mit K = Verstärkungsfaktor,  y_{(k)} = aktuelle Ausgangsgröße,  y_{(k-1)} = vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante,  u_{(k)} = aktuelle Eingangsgröße)

Die einmalige Anwendung einer Differenzengleichung y_{(k)}=f(T, \Delta t, k, k-1, u_{(k)}) zum Zeitpunkt k \cdot \Delta t ergibt für eine gegebene Eingangsfolge u_{(k)} ein Folgeglied der Ausgangsfolge y_{(k)}. Jedes Folgeglied y_{(k)} bezieht sich auf eine zurückliegende Folge y_{(k-1)}. Deshalb wird eine solche Differenzengleichung als Rekursionsgleichung bezeichnet, weil jedes Folgeglied eine Funktion des vorherigen Folgegliedes ist.

Die rekursive Anwendung von Differenzengleichungen zur Berechnung von Eingangs-Wertefolgen zu Ausgangs-Wertefolgen bedeutet die angenäherte Lösung der systembeschreibenden Differentialgleichung des Systemausgangssignals y_{(k)} von Wertefolgen (Berechnungspunkten) y_{(k)}=y(0), y(1), y(2), y(3), \dots.

Mit Hilfe eines Personal Computers kann das Systemverhalten eines dynamisches Systems oder eines Regelkreises mit Differenzengleichungen vollständig simuliert werden. Dabei wird eine endliche Anzahl k_\mathrm{max} von Berechnungsfolgen (Wertefolgen) festgelegt und die Rechenergebnisse der Teilsysteme - das Systemverhalten - tabellarisch und grafisch als Berechnungspunkte im Abstand \Delta t dargestellt. Die Differenzengleichung enthält bereits die Lösungsvorschrift der Systemausgangsgröße in Annäherung an die systembeschreibende Differentialgleichung.

Handelt es sich bei dem dynamischen System um eine Hardware mit einer im zeitlichen Abstand T_A abgetasteten Eingangsfolge u_{(k)}, die über einen Mikrocomputer mit Differenzengleichungen zu einer Ausgangsfolge y_{(k)} berechnet wird, kann mit Hilfe eines Haltegliedes eine treppenförmig gestufte quasi kontinuierliche Ausgangsgröße y(t) als Beispiel der prinzipiellen Funktion eines digitalen Reglers erreicht werden. Regelstrecken liegen in der Praxis meist als kontinuierliche Systeme vor, die eine kontinuierliche Stellgröße benötigen.

Differenzengleichungen höherer Ordnung[Bearbeiten]

Differenzengleichungen können auch aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen höherer Ordnung entwickelt werden, wenn ab dem Zeitpunkt t=kT_A \geq 0 die letzten vergangenen Ausgangs-Wertefolgen mit k=[-1 \to -n] und die Eingangs-Wertefolgen mit k=[-1 \to -m] bekannt sind.

Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die gewöhnlichen Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für n \geq m beschrieben. Dabei sind n und m die höchsten Ableitungen der Ausgangssignale y(t) und Eingangssignale u(t).

Eine gegebene gewöhnliche Differentialgleichung wird durch den Koeffizienten a_0 dividiert, um y(t) freistellen zu können. Diese Form der Differentialgleichung wird entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

y(t)+ a_{1} \dot y(t)+ a_{2} \ddot y(t)+ \dots + a_ny^{(n)}(t) = b_0 u(t)+ b_1 \dot u(t) + b_2 \ddot u(t)+ \dots + b_m u^{(m)}(t).

Diese Differentialgleichung kann in eine Differenzengleichung überführt werden:

  • f(kT_A) wird vereinfacht als f_{(k)} geschrieben und entspricht einem aktuellen Folgeglied.
  • Die kontinuierlichen Systemgrößen y(t)\to y_{(k)} und u(t) \to u_{(k)} werden zeitdiskret dargestellt.
  • Die Ableitungen im Zeitbereich  dy/dt werden entsprechend der Ordnung durch Differenzenquotienten \Delta y / \Delta t der zugehörigen Ordnung ersetzt.
Jede Ableitung der Systemgrößen wird im zeitdiskreten Bereich entsprechend der Ordnung als zurückliegende Folgeglieder der Eingangs- und Ausgangsfolgen k-1 bis k-n oder k-m berücksichtigt.

Daraus folgt die Differenzengleichung:

{y_{(k)} + a_1 \cdot y_{(k-1)} + a_2 \cdot y_{(k-2)} + \dots + a_n \cdot y_{(k-n)} = b_0 \cdot u_{(k)}+ b_{1} \cdot u_{(k-1)}+ b_2 \cdot u_{(k-2)} + \dots + b_m \cdot u_{(k-m)}}.

Damit kann die allgemeine Form der Differenzengleichung nach y_{(k)} aufgelöst werden:

{y_{(k)}=b_0 \cdot u_{(k)}+ b_{1} \cdot u_{(k-1)}+ b_2 \cdot u_{(k-2)} + \dots + b_m \cdot u_{(k-m)} -a_1 \cdot y_{(k-1)} -a_2 \cdot y_{(k-2)} - \dots - a_n \cdot y_{(k-n)}}.

Für die numerische Berechnung eines dynamischen Systems wird die s-Übertragungsfunktion oder die zugehörige Differentialgleichung benötigt. Die Umsetzung einer systembeschreibenden Differentialgleichung in eine angenäherte Differenzengleichung zur Beschreibung von Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen eines dynamischen Systems wird ermöglicht, wenn die Differentiale der Differentialgleichung durch Rückwärts-Differenzenquotienten über die Abtastperiode ersetzt werden. [Einzelnachweise 5]

Die folgenden Ableitungen der Differentialquotienten in Differenzenquotienten der 1. 2. und 3. Ordnung sind gegeben:

Differenzenquotient 1. Ordnung:

\dot y(t)=\frac {dy}{dt} \approx \frac {\Delta y}{\Delta t}= \frac {\Delta y_k}{T_A}=\frac {y_{(k)}- y_{(k-1)}}{T_A}

Der Differenzenquotient 2. Ordnung entsteht aus Differenzen der Differenz:

\ddot y(t)=\frac {d^2y}{dt^2} \approx  \frac {\Delta^2y_k}{T_A^2} = \frac {y_{(k)}-2y_{(k-1)} +y_{(k-2)} }{T_A^2}

Der Differenzenquotient 3. Ordnung lautet:

y^{(3)}(t)=\frac {d^3y}{dt^3} \approx  \frac {\Delta^3y_k}{T_A^3} = \frac {y_{(k)}-3y_{(k-1)}+3y_{(k-2)}-y_{(k-3)}}{T_A^3}

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten in die Differenzengleichung eines dynamischen Systems lassen sich die neuen Koeffizienten aus den Koeffizienten der Differentialgleichung berechnen.

Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines PT_{2kk}-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:

Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen.TA = 0,01 sec
0{,}25 \ddot y(t)+ 0{,}125 \dot y(t)+y(t)=1(t)
Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich:
G(s) = \frac {Y(s)}{U(s)} = \frac 1{0{,}25s^2 + 0{,}125s + 1}
Sprungfunktion: u(t)=1

Gesucht: Differenzengleichung y_{(k)} zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens.

Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation:

0{,}25 \ddot y(t) + 0{,}125 \dot y(t) + y(t) = u(t)

Die Differenzenquotienten für \ddot y(t) und \dot y(t) werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt:

0{,}25 \cdot \frac {y_{(k)}-2y_{(k-1)} +y_{(k-2)} }{T_A^2} + 0{,}125 \cdot \frac {y_{(k)}- y_{(k-1)}}{T_A}+y_{k}=u_{k} \quad |\qquad y(t) \to y_{(k)}; \ u(t) \to u_{(k)}

Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um  y_{(k)} freistellen zu können:

 y_{(k)} \bigg(\frac {0{,}25}{T_A^2} + \frac{0{,}125}{T_A} + 1  \bigg) = u_{(k)} + \frac {0{,}5y_{(k-1)}}{T_A^2}- \frac {0{,}25y_{(k-2)}}{T_A^2} + \frac {0{,}125y_{(k-1)}}{T_A}
 y_{(k)}=\frac {u_{(k)}}{\lambda} + \frac {0{,}5y_{(k-1)}}{\lambda T_A^2} - \frac {0{,}25y_{(k-2)}}{\lambda T_A^2}+ \frac {0{,}125y_{(k-1)}}{\lambda T_A}\quad \bigg|\qquad \lambda =\frac {0{,}25}{T_A^2}+\frac{0{,}125}{T_A}+1; \quad u_{(k)}=1

Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem digitalen Rechner gelöst werden kann. Aus der Eingangsfolge u_{(k)} berechnet der Rechner die Ausgangsfolge y_{(k)}.

z-Transformation zeitdiskreter Signale und dynamischer Systeme[Bearbeiten]

Die z-Transformation wird auf zeitdiskrete Signale u_{(k)}, auf die systembeschreibenden Differenzengleichungen y_{(k)} und auf Übertragungsfunktionen des s- und z-Bereiches meist mit Hilfe der Korrespondenztabellen angewendet.

Funktionsblöcke eines digitalen Reglers.

Das nebenstehende Bild ist ein Beispiel der Darstellung der Signalarten und Systeme an einem aufgeschnittenen digitalen Regelkreis mit einer kontinuierlichen Regelstrecke.

Abtastsysteme wandeln in Verbindung mit A/D-Wandlern ein kontinuierliches Signal in ein zeitdiskretes Signal als Wertefolge um. D/A-Wandler in Verbindung mit Haltesystemen nullter Ordnung wandeln eine Wertefolge in ein gestuftes zeitkontinuierliches Signal um.

Rechenregeln der z-Transformation[Bearbeiten]

Wie die Laplace-Transformation wird die z-Transformation durch Sätze und Rechenregeln definiert, dennoch bestehen in einigen Funktionen große Unterschiede.

Die Transformationen und Rücktransformationen der z-Transformation erfolgen meist mit Hilfe von Transformations-Tabellen. In der Fachliteratur werden in Tabellen die Zeitfunktionen f(t), die Laplace-Transformierten f(s) und die z-Transformierten f(z) dargestellt. Nicht vorhandene Zeitfunktionen für die inverse z-Transformation können wie bei der Laplace-Transformation durch die Partialbruchzerlegung bestimmt werden.

Die Verfahren der Anwendung der Rechenregeln der z-Transformationen sind umfangreich und können in diesem Abschnitt nur angedeutet werden. Die nachstehenden meist tabellarisch aufgeführten Verfahren sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik oder in Vorlesungsmanuskripten der z-Transformation zu finden.

  • Diese Rechenregeln beziehen sich auf Linearitätssätze, Multiplikationssatz, Divisionssatz, Ähnlichkeitssätze, Dämpfungssatz, Verschiebungssätze (rechts-links), Differenzensätze (Rückwärts-Vorwärts), Summationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze.
  • Die z-Transformationen und die z-Rücktransformationen können mit Hilfe von Transformations-Tabellen und verschiedenen noch dargestellten Verfahren durchgeführt werden.

Die nachfolgenden mathematischen Beziehungen gelten für Systeme mit einem Eingangssignal u_{(k)} und einem Ausgangssignal y_{(k)}. Für einen digitalen Regler müssen die zugehörigen Größen des Eingangssignals e_{(k)} und Ausgangssignals u_{(k)} in die Gleichungen eingesetzt werden.

Vergleich der z-Transformation und der Laplace-Transformation.
Mitz=e^{s \cdot T_A} wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation:[Einzelnachweise 6]

  • Grundlagen der Definitionen im z-Bereich:
z-Variable:
z=u^{T_A \cdot s}
z-Transformierte einer Folge f_{(k)}:
F(z)= \mathcal Z \{f_{(k)} \}
Inverse z-Transformation von F(z):
f_{(k)}= \mathcal Z^{-1} \{F(z) \}
  • Für Grenzbetrachtungen treten häufig folgende Fälle auf:
Für den s-Bildbereich gilt für die s-Variable.
 t \longrightarrow 0: \ (s \longrightarrow \infty) \qquad \qquad t \longrightarrow \infty: \ (s \longrightarrow 0)
Für den z-Bildbereich gilt für die z-Variable:
 k \longrightarrow 0: \ (z \longrightarrow \infty) \qquad \qquad k \longrightarrow \infty: \ (z \longrightarrow 1)
  • Anfangswert einer zeitdiskreten Folge:
 u(k=0) = \lim_{z \to \infty} U(z)
  • Rückwärtsverschiebung (nach rechts):
Totzeiten innerhalb eines Digitalreglers entstehen durch die Signalabtastung über A/D-Wandler, D/A-Wandler und durch die Rechenzeit des Mikrocomputers. Die Berechnung einer Totzeit T_t = d \cdot T_A einer Abtastfolge entspricht einer Rückwärtsverschiebung (Rechtsverschiebung) der Abtastfolge (Zahlenwerte) um d Abtastschritte von T_A. Diese mathematische Operation bedeutet im s-Bereich für die Totzeit e^{-s \cdot T_t} und im z-Bereich:
u_{(k-d)} \ \circ \!\!-\!\!\bullet \ z^{-d} \cdot U(z)
  • Vorwärtsverschiebung (nach links):
Eine Vorhersage um die Zeit T_P = d \cdot T_A einer Wertefolge entspricht einer Vorwärtsverschiebung nach links um d-Abtastschritte. Diese Operation entspricht der Laplace-Transformierten e^{s \cdot T_A} und bedeutet im z-Bereich:
 u_{(k+d)}\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ z^{d} \cdot U(z)
  • Differentiation:
Die Differenz zweier aufeinander folgender Abtastwerte dividiert durch die Abtastzeit entspricht der Annäherung an einen Differenzialquotienten im Zeitbereich.
u_{(k)}-u_{(k-1)} \ \circ \!\!-\!\!\bullet \ \frac {z-1} z \cdot U(z)
  • Integration:
Wird die Summer aller Abtastwerte mit der Abtastzeit TA multipliziert, entsteht in Annäherung an den Zeitbereich die numerische Integration. Im s-Bereich entspricht die Integration 1 / s. Im z-Bereich gilt die Integration:
\sum_{i=0} ^k u_{(i)} \ \circ \!\!-\!\!\bullet \ \frac z {z-1} \cdot U(z)
  • Gewichtsfolge:
Die z-Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge g(k).
G(z) \ \bullet \!\!-\!\!\circ \ g(k)
In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines linearen, zeitdiskreten dynamischen Systems enthalten.
  • Multiplikation:
Ausgangssignal als Funktion des Eingangssignals und der z-Übertragungsfunktion
Y(z)=U(z) \cdot G(z)
 y_{(k)}= \sum_{i=0}^k g(i) \cdot u_{(k-i)}

Im Bildbereich steht die Multiplikation an Stelle der Faltungssumme, wie bei zeitkontinuierlichen Systemen an Stelle des Faltungsintegrals.

Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)[Bearbeiten]

[Einzelnachweise 7]

Funktion im
Zeitbereich f(t)
Laplace-Transformierte
im Bildbereich F(s)
Diskrete Laplace-Transformierte
nach der z-Transformation  F(z) = \mathcal Z \{ F(s) \}
δ-Impuls 1 1
Einheits-
sprung 1
 \frac 1 s  \frac z {z-1}
t  \frac 1 {s^2}  \frac {T_A \cdot z} {(z-1)^2}
 t^2  \frac 2 {s^3}  \frac {T_A^2 \cdot z \cdot (z+1)} {(z-1)^3}
 e^{-a \cdot t}  \frac 1 {s+a}  \frac z {z-e^{-a\cdot T_A}}
 t \cdot e^{-a \cdot t}  \frac 1 {(s+a)^2}  \frac {e^{-a \cdot T_A} \cdot T_A \cdot z} {(z-e^{-a \cdot T_A})^2}
 1-e^{-a \cdot t}  \frac a {s \cdot (s+a)}  \frac {(1-e^{-a \cdot T_A}) \cdot z} {(z-1) \cdot (z-e^{-a\cdot T_A})}
1-e^{-t/T_1}  \frac 1 {s \cdot (1+T_1 \cdot s)}  \frac {(1-e^{-T_A/T_1})\cdot z} {(z-1) \cdot (z-e^{-T_A/T_1})}
\sin \,\omega_0t  \frac {\omega_0} {s^2+ \omega^2_0 } \frac {z \cdot \sin (\omega_0 T_A)}{z^2-2z \cdot \cos (\omega_0 T_A)+1}
\cos \,\omega_0t  \frac {s} {s^2+ \omega^2_0 } \frac {z^2-z \cdot \cos(\omega_0 T_A)}{z^2-2z \cdot \cos(\omega_0 T_A)+1}
1-(1+at)e^{-at}  \frac {a^2} {s \cdot (s+a)^2} \frac z{z-1}-\frac z{z-c}-\frac {acT_Az}{(z-c)^2} \ ; \quad c=e^{-aT_A}
1+ \frac {be^{-at}-ae^{-bt}} {a-b}  \frac {ab} {s \cdot (s+a)(s+b)}  \frac z{z-1}+\frac {bz}{(a-b)(z-c)}-\frac {az}{(a-b)(z-d)}
c=e^{-aT_A} \ \quad d=e^{-bT_A}
e^{-at}\sin \,\omega_0t  \frac {\omega_0} {(s+a)^2+ \omega^2_0 } \frac {cz \sin(\omega_0T_A)}{z^2-2cz \cos(\omega_0T_A)+c^2}\ ; \quad c=e^{-aT_A}
e^{-at}\cos \,\omega_0t  \frac {s+a} {(s+a)^2+ \omega^2_0 } \frac {z^2-cz \cos (\omega_0T_A)}{z^2-2cz \cos(\omega_0T_A)+c^2}\ ; \quad c=e^{-aT_A}
a^{t/T_A}  \frac 1 {s-(1/T_A)\ln a }  \frac z {z-a}
TA = Abtastzeit, a oder b = Zahlenwert der Nullstelle (Pol) im s-Bereich, T1 = Zeitkonstante der s-Übertragungsfunktion.

Tabelle der Korrespondenzen der zeitdiskreten Funktionen f_{(k )} zum z-Bereich F(z) (Auszüge)[Bearbeiten]

Name der
Zeitfunktion
Wertefolge f_{(k )} z-Transformierte
\delta-Impulsgfolge f_{(k)}=[0(-T_A), 1(0T_A), 0(T_A), 0(2T_A), 0(3T_A), \dots] 1
Sprungfolge f_{(k)}=[0(-T_A), 1(0T_A), 1(T_A), 1(2T_A), 1(3T_A), \dots] \frac z {z-1}
Anstiegsfolge u_{(k)}=[-u_1(-T_A), u_0(0T_A), u_1(T_A), u_2(2T_A), u_3(3T_A), \dots]
k=[-1, 0, 1, 2, 3, \dots]
\frac z {(z-1)^2}
Potenzfolge a^k \frac z {z-a}
e-Funktionsfolge e^{-ak} \frac z {z-e^{-a}}
Sinusfunktionsfolge \sin(ak) \frac {z \cdot \sin a} {z^2-2z \cdot \cos a+1}
Kosinusfunktionsfolge \cos(ak) \frac {z \cdot (z-\cos a)} {z^2-2z \cdot \cos a+1}
Abklingende Sinus-
funktionsfolge
e^{-ak} \cdot \sin(bk) \frac {z \cdot e^{-a}\cdot \sin \,b} {z^2-2z \cdot e^{-a} \cdot \cos \ b+e^{-2a}}
Abklingende Cosinus-
funktionsfolge
e^{-ak} \cdot \cos(bk) \frac {z \cdot (z-e^{-a}\cdot \cos \,b)} {z^2-2z \cdot e^{-a} \cdot \cos \ b+e^{-2a}}
Linearitätssatz a_1f_1(k)+a_2f_2(k)+ \dots +a_nf_n(k) a_1F_1(z)+a_2F_2(z)+ \dots +a_nF_n(z)
Rechts-Verschiebesatz f(k-d) z^{-d} \cdot F(z)
Faltungssumme \sum_{i=0}^k f_1(i) \cdot f_2(k-i) F_1(z) \cdot F_2(z)
Anfangswertsatz  \lim_{k \to 0} f(k)  \lim_{z \to \infty} F(z)
Endwertsatz  \lim_{k \to \infty} f(k)  \lim_{z \to 1} \,(z-1) \cdot F(z)

z-Transformation einer Wertefolge (Impulsfolge)[Bearbeiten]

Die Laplace-Transformation bezieht sich auf die Ableitungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ersetzt diese nach dem Laplace-Differentiationssatz durch die komplexe Variable s = \sigma+j \omega. Ein Exponent von s kennzeichnet die Ordnung der Ableitung.

Die z-Transformation transformiert eine Impulsfolgefunktion f^*(t) oder eine Zahlenfolge f_{(k)} in eine Funktion F(z) mit der z-Variable z=e^{T_A \cdot s}.

Da die Berechnungen mit Impulsfunktionen oder Folgen aufwendig sind, ist es sinnvoll, diese durch einfachere Berechnungen im z-Bildbereich auszuführen. Die z-Transformation von Impulsfolgen kann als diskrete Laplace-Transformation aufgefasst werden. [Einzelnachweise 8]

Die zu diskreten Zeitpunkten abgetasteten kontinuierlichen Eingangssignale entsprechen mit der Eingangsgröße modulierten (gewichteten) \delta-Impulsfolgen, die mit der z-Transformation berechnet werden.

Beim Übergang von kontinuierlichen Systemen f(t) zu Abtastsystemen f_{(k)} mit der Abtastfolge k = (0, 1, 2, 3, \dots) gehen lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen in zeitinvariante Differenzengleichungen der Abtastzeit TA beziehungsweise der Abtastfrequenz  f_{TA}=1 / T_A der Funktion f(kT_A) über.

Kontinuierliche Signale z. B. die Regelabweichung e(t) eines Regelkreises mit einer analog arbeitenden Regelstrecke werden zu gleichen Zeitabständen T_A abgetastet. Ein Abtaster mit A/D-Wandler erzeugt aus einem zeitkontinuierlichem Regler-Eingangssignal e(t) ein zeitdiskretes Signal e_{(k)}. Es können sowohl abgetastete Regler-Eingangssignale e_{(k)} als auch Differenzengleichungen f(k), die im diskreten Zeitbereich den Regelalgorithmus eines Reglers beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung f_{(k)}= \mathcal Z^{-1} \{F(z) \} im f(k)-Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(k).

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereiches stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Eine einzelne Abtastung eines kontinuierlichen Signals u(t) an einer beliebigen Stelle des Signalverlaufs z. B. zum Zeitpunkt T_1 wird als Modulation von u(t) mit einem Dirac-Impuls mit \delta \cdot(t-T_1) beschrieben. [Einzelnachweise 9] [Einzelnachweise 10]

Damit ergibt sich für die Multiplikation des Eingangssignals u(t) mit dem Dirac-Impuls:

u_{T_1}(t)=u(t)\cdot \delta(t-T1)=u(T_1)\cdot \delta(t-T_1)

Wird nun periodisch mit zu den Zeitpunkten kT_A das Signal u(t) abgetastet, kann das abgetastete Signal u(kT_A)=u_k als Multiplikation einer \delta-Impulsfolge mit u(t) betrachtet werden.

Die Impulsfolgefunktion bezieht sich auf die Summengrenzen von k=-\infty zu k=\infty

u(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty u(kT_A) \cdot \delta(t-kT_A)

Mit dem Übergang der Summengrenzen von k=0 zu k=\infty wird die Impulsfolgefunktion:

u(t)=\left. \sum_{k=0}^\infty u_k \cdot \delta(t-kT_A) \right|_{\text{mit } u_k=0, \text{ und } k<0}

Die Impulsfolgefunktion wird der Laplace-Transformation unterzogen:

U(s)=\mathcal L \Bigl\{\sum_{k=0} ^\infty u_k \cdot \delta(t-kT_A)\Bigr\}=\int\limits_{0}^ \infty \sum_{k=0} ^\infty u_k \cdot \delta(t-kT_A) \cdot e^{-st}dt=\sum_{k=0} ^\infty u_k \cdot e^{-k \cdot s \cdot T_A}

Mit der z-Variablen z=e^{s \cdot T_A} und z^{-k}=e^{-ksT_A} wird die Gleichung vereinfacht zu der z-Transformierten des kontinuierlichen Signals u(t).

Mit z=e^{s \cdot T_A} wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Damit lautet die z-Transformation eines abgetasteten kontinuierlichen Signals  u(t) mit der Folge k = (0, 1, 2, 3, \dots) und der Wertefolge u(kT_A) := u_{k} = [u_{(0)}; u_{(T_A)}; u_{(2T_A)}; u_{(3T_A)}; \cdots ]:

\mathcal Z \{u_{(k)}\}=U(z)=\sum_{k=0} ^\infty u_k \cdot z^{-k}

oder allgemein als Funktion F(z):

F(z)=\sum_{k=0} ^\infty f_k \cdot z^{-k}

z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) von zeitdiskreten Elementen[Bearbeiten]

Übersicht:

  • Die Differenzengleichungen y_{(k)} können ausschließlich mit Hilfe des Linearitätssatzes und Verschiebungssatzes in den komplexen z-Bildbereich und in die z-Übertragungsfunktionen G(z)=Y(z) / U(z) überführt werden.
Wendet man auf die einzelnen Terme der Differenzengleichung den Linearitäts- und den rechts-Verschiebungssatz an und bringt alle Terme mit y_{(k)} auf die linke Seite und alle Terme mit u_{(k)} auf die rechte Seite der Differenzengleichung, so lässt sich das Verhältnis G(z)=Y(z)/ U(z) mit den verbleibenden Elementen als gebrochen-rationale Funktion darstellen.
Die z-Übertragungsfunktion lautet:
 G(z)=\frac {Y(z)} {U(z)}=\frac {\text {Zählerpolynom}\ (z)} {\text {Nennerpolynom}\ (z)}
  • Gegebene Übertragungsfunktionen des s-Bereiches in Verbindung mit Haltegliedern und Abtastelementen können ebenfalls mit Hilfe der Korrespondenztabellen als z-Übertragungsfunktion transformiert werden.
  • Die Rücktransformation von der z-Übertragungsfunktion in den zeitdiskreten Bereich als Differenzengleichung erfolgt durch den invers angewendeten Linearitätssatz und Verschiebungssatz für alle einzelnen Terme. Durch die kreuzweise Multiplikation von y_{(k)} und u_{(k)} mit den Polynomen im Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion entsteht wieder eine Differenzengleichung y_{(k)}, wenn die einzelnen Terme der inversen Transformation unterzogen werden.

Mit der so errechneten Differenzengleichung des Übertragungssystems ist man nun in der Lage, für eine gegebene Eingangserregung u_{(k)} des Systems die Ausgangsfolgen des Systems y_{(k)} zu berechnen. Dies ist auf verschiedenen Arten möglich.

  • Analytische Berechnung mit Hilfe der Korrespondenztabellen der z-Transformation,
  • Rekursive Berechnung von Systemantworten der Differenzengleichungen mit Bezug auf zurückliegende Folgen k.

Entstehung der z-Übertragungsfunktion:

Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch eine rekursive Differenzengleichung beschrieben.

Wie bei zeitkontinuierlichen Systemen g(t) und der Übertragungsfunktion G(s) besteht eine vergleichbare Beziehung bei den zeitdiskreten Systemen zwischen der Gewichtsfolge g(k) und z-Übertragungsfunktion G(z). Die Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge g(k).

Beziehung der Gewichtsfolge g(k) zur z-Übertragungsfunktion G(z).
G(z) \ \bullet \!\!-\!\!\circ \ g(k)

In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines dynamischen Systems enthalten. Zur Systemberechnung wird der Verlauf des Eingangssignals U(z) und das Systemverhalten G(z) oder g(k) benötigt.

Für die Ermittlung der z-Übertragungsfunktion ist die Gewichtsfunktion g(t) die Systemantwort (Impulsantwort) auf die Vorgabe eines Eingangs-DIRAC-Impulses  \delta(t).

Bei der Laplace-Transformation eines Systems lautet die Übertragungsfunktion:

 G(s) = \frac {Y(s)} {U(s)} = \frac {\text {Zählerpolynom}\ (s)} {\text {Nennerpolynom}\ (s)} \ | \qquad mit \ U(s)= \delta (t); \ U(s)=1

Aus der Gewichtsfunktion wird die Impulsfolgefunktion g^*(t) oder die Gewichtsfolge g(kTA) gebildet und in den z-Bereich transformiert. Die z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Systemen ergibt sich mit folgender Vorschrift:

G(z)= \mathcal Z \{g(t) |_{t=kT_A} \}=\mathcal Z \{\mathcal L^{-1} \{G(s) \}|_{t=kT_A} \}

Die Berechnung der Impulsübertragung von linearen zeitdiskreten Systemen vereinfacht sich, wenn aus der Differenzengleichung mit der z-Transformation die z-Übertragungsfunktion bestimmt wird. So können z. B. die Regelalgorithmen eines digitalen Reglers mit Differenzengleichungen formuliert werden.[Einzelnachweise 11] [Einzelnachweise 12]

Ist die z-Übertragungsfunktion eines Systems G(z) gegeben, lässt sich die zugehörige z-Differenzengleichung bestimmen:

  • durch Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner y(z) und u(z) und Gleichungsumstellung nach y(z),
  • Anwendung des rechts-Verschiebesatzes der z-Transformation zur Bestimmung der Ausgangsgröße y_{(k)}.

Es wird eine lineare Differenzengleichung eines Regelalgorithmus gegeben:

Die Eingangssignale der Differenzengleichung sind wieder u_{(k)} und die Ausgangssignale y_{(k)}.

 a_n \cdot y_{(k+n)} + a_{n-1} \cdot y_{(k+n-1)} + \cdots + a_1 \cdot y_{(k+1)} + a_0 \cdot y_{(k)} = b_m \cdot u_{(k+m)}+ b_{m-1} \cdot u_{(k+m-1)}+ \cdots + b_1 \cdot u_{(k+1)} + b_0 \cdot u_{(k)} | \qquad n \geq m

Unter der Voraussetzung, dass die Anfangswerte des zeitdiskreten Systems gleich Null sind, wird die Differenzengleichung transformiert. Mit den Rechenregeln des rechts-Verschiebungssatzes ergibt sich die Transformationsvorschrift:

y_{(k)} \to y(z), \qquad y_{(k+i)} \to z^i \cdot y(z), \qquad y_{(k-i)} \to z^{-i} \cdot y(z),
u_{(k)} \to u(z), \qquad u_{(k+i)} \to z^i \cdot u(z), \qquad u_{(k-i)} \to z^{-i} \cdot u(z)

Die z-transformierte Differenzengleichung ergibt sich zu:

 a_n \cdot z^n \cdot Y(z)+ a_{n-1} \cdot z^{n-1}\cdot Y(z)+ \cdots + a_1 \cdot z \cdot Y(z) + a_0 \cdot Y(z) = b_m \cdot z^m \cdot U(z)+ b_{m-1} \cdot z^{m-1}\cdot U(z)+ \cdots + b_1 \cdot z \cdot U(z) + b_0 \cdot U(z)

Durch Ausklammern des Quotienten Y(z) / U(z) kann die Impulsübertragungsfunktion G(z) gebildet werden.

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion:

 G(z) = \frac {Y(z)} {U(z)} = \frac {b_m \cdot z^m + b_{m-1} \cdot z^{m-1} + \cdots + b_1 \cdot z + b_0 } {a_n \cdot z^n + a_{n-1} \cdot z^{n-1} + \cdots + a_1 \cdot z + a_0} = \frac {\text{Zähler}(z)} {\text{Nenner}(z)}

Bei der Berechnung von Differenzengleichungen mit dem Digitalrechner ist die von n-Schritten nach rechts verschobene Gleichung besser geeignet.

 a_n \cdot y_{(k)} + a_{n-1} \cdot y_{(k-1)} + \cdots + a_1 \cdot y_{(k-n+1)} + a_0 \cdot y_{(k-n)} = b_m \cdot u_{(k-n+m)}+ b_{m-1} \cdot u_{(k-n+m)}+ \cdots + b_1 \cdot u_{(k-n+1)}+b_0 \cdot u_{(k-n)}

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion mit negativen Exponenten von z:

 G(z) = \frac {Y(z)} {U(z)} = \frac {b_m \cdot z^{m-n} + b_{m-1} \cdot z^{m-1-n} + \cdots + b_1 \cdot z^{-n+1} + b_0 \cdot z^{-n}} {a_n + a_{n-1} \cdot z^{-1} + \cdots + a_1 \cdot z^{-n+1} + a_0 \cdot z^{-n}}

Beispiel: Für eine gegebenen Differenzengleichung 3. Ordnung lautet die z-Übertragungsfunktion für Ordnungen m = 2 und n = 3:

 G(z) = \frac {Y(z)} {U(z)}=\frac {b_2 \cdot z^2+b_1 \cdot z + b_0} {a_3 \cdot z^3 + a_2 \cdot z^2+a_1 \cdot z+a_0}

Mit der rechts-Verschiebung der zugehörigen Differenzengleichung um n = 3 Abtastschritte T_A lautet die z-Übertragungsfunktion:

 G(z) = \frac {Y(z)} {U(z)}=\frac {b_2 \cdot z^{-1}+b_1 \cdot z^{-2} + b_0 \cdot z^{-3}} {a_3 + a_2 \cdot z^{-1}+a_1 \cdot z^{-2}+a_0 \cdot z^{-3}}

Es fällt auf, dass die z-Transformation einer Differenzengleichung eine große Ähnlichkeit mit der Polynomform einer s-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme hat. Ebenso fällt auf, das die z-Übertragungsfunktion negative Potenzen hat. Allgemein werden z-Übertragungsfunktionen mit negativen Potenzen von z dargestellt.

Jede z-Übertragungsfunktion mit negativen Potenzen von z kann in eine Form mit positiven Potenzen von z gebracht werden, wenn Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion mit der höchsten vorkommenden inversen z-Potenz multipliziert werden. Für die z-Übertragungsfunktion der Form mit positiven Exponenten muss gelten: Nennerpolynom > Zählerpolynom. Ist diese Bedingung erfüllt, ist G(z) kausal.

Es können sowohl abgetastete Eingangssignale u(kTA) als auch Differenzengleichungen f(kTA), die im diskreten Zeitbereich das Verhalten eines Systems (z. B. den Regelalgorithmus eines Reglers) beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung f_{(k)}= \mathcal Z^{-1} \{F(z) \} im f(kT_A)-Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(kTA).

Die typische Anwendung der z-Transformation eines digitalen Systems, eines digitalen Reglers oder eines digitalen Filters, für den Regelalgorithmus lautet wie folgt:

  • Die Abtastfolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) wird transformiert als z-Übertragungsfunktion H(z),
  • Die Differenzengleichung f_{(k \cdot T_A)} des gewünschten Reglerverhaltens wird transformiert als z-Übertragungsfunktion G(z),
  • Die z-transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend der z-Rechenregeln zusammengefasst,
  • Mit der inversen z-Transformation des z-Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers (Mikro Computers) wieder als Differenzengleichung.

Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus.

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereich stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

z-Übertragungsfunktion einer Totzeit[Bearbeiten]

Eine Totzeit Tt hat im Zeitbereich das Verhalten \displaystyle y(t) = {u}(t-T_t).

Im s-Bereich lautet die Übertragungsfunktion eines Totzeitsystems:

G(s)=\frac{y(s)}{u(s)}=e^{-s\cdot T_t}

Es handelt sich hier bei der Verbindung einer s-Übertragungsfunktion als gebrochen-rationalen Funktion mit einem Totzeitglied um eine transzendente Funktion, die als Anhang einer Übertragungsfunktion - beispielsweise einer Regelstrecke - multiplikativ zugeordnet wird, mit der Einschränkung, dass keine algebraische Behandlung erlaubt ist.

Im z-Bereich entspricht eine Totzeit T_t=d \cdot T_A einer Rückwärtsverschiebung (Verschiebung nach rechts) der Abtastfolgen um d Abtastschritte. Die z-Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes in Verbindung mit weiteren z-Übertragungssystemen bleibt gebrochen-rational (Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom).

Für die z-Transformation der Abtastfolge für das Signal u_{(k-d)} gilt:

 u_{(k-d)} \ \circ \!\!-\!\!\bullet \ z^{-d} \cdot U(z)

Anders als bei der Laplace-Transformation bedeutet ein Totzeitglied in Verbindung mit einer z-Übertragungsfunktion keine Einschränkung der bestehenden Form der gebrochen-rationalen Funktion. Eine z-Übertragungsfunktion mit einer mit d Abtastschritten T_A definierten Totzeit T_t=d \cdot T_A wird durch hinzufügen von eines Terms z^{-d} berücksichtigt. Es können beliebige algebraische Operationen durchgeführt werden.

Beispiel einer z-Übertragungsfunktion mit Totzeit:

 G(z) = \frac {Y(z)} {U(z)} = \frac {b_m \cdot z^m + b^{m-1} \cdot z^{m-1} + \cdots + b_1 \cdot z + b_0 } {a_n \cdot z^n + a_{n-1} \cdot z^{n-1} + \cdots + a_1 \cdot z + a_0} \cdot z^{-d}

z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Elementen G(s) mit Abtaster und Halteglied[Bearbeiten]

Definition der Signale: Allgemein gilt für den Zeitbereich f(t), zeitdiskreten Bereich f(k) und Bildbereich f(s), f(z) die Eingangsgröße u und die Ausgangsgröße y.

Abtastsysteme erlauben eine Umwandlung kontinuierlicher Signale in zeitdiskrete Abtastfolgen (Impulsfolgen). Halteglieder erlauben eine Umwandlung zeitdiskreter Ausgangsfolgen (Impulsfolgen) in kontinuierliche gestufte Signale im Zeitbereich. Ein Abtaster setzt ein kontinuierliches Signal u(t) in Verbindung mit einem nachgeschalteten A/D-Wandler in eine Zahlenfolge u(k) mit digitalen Werten um.

Ein Halteglied nullter Ordnung setzt eine Zahlenfolge u_{(k)} mit einem vorgeschalteten D/A-Wandler in ein gestuftes kontinuierliches Signal u(t) um. Bei der Reihenschaltung von einem Abtastsystem (gewichteter δ-Abtaster) und einem Halteglied handelt es sich um die Umwandlung einer aus einem kontinuierlichen Eingangssignal modulierten Impulsfolge in eine gestufte Treppenfunktion f(t), die in ein kontinuierliches dynamisches System eingeleitet werden kann.

Liegt ein kontinuierliches dynamisches System vor, erlaubt die Abtastung eines kontinuierlichen Signals, z. B. eine Regelabweichung, die Verarbeitung einer zeitdiskreten Eingangsfolge in einem Mikrocomputer als Regelalgorithmus zu einer zeitdiskreten Ausgangsfolge. Die über ein Halteglied geleitete Ausgangsfolge erzeugt ein quasi stetiges gestuftes Ausgangssignal zu einer analogen zeitabhängigen Stellgröße.

Je nach Anwendung des kontinuierlichen Systems G(s), beispielsweise in der Regelungstechnik, werden unterschiedlich Funktionsblöcke zusammengefasst, die auch mehrere Abtaster und Halteglieder enthalten können.

Um ein kontinuierliches System G(s) in eine z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) zu definieren, muss es im Eingang durch eine Abtastfolge e_{(k)} als Eingangsfolge und am Ausgang des Systems zeitsynchron durch einen Abtaster die Ausgangsfolge u_{(k)} zur Verfügung stellen.

Berechnung der Varianten kontinuierlicher Systeme G(s) mit Abtaster und Halteglied.

Je nachdem wie die Reihenfolge der Funktionsböcke eines Haltegliedes G_H(s), eines Systems G(s) und eines Abtasters festgelegt sind, können diese Funktionsblöcke als ein Teil einer offenen Regelstrecke betrachtet werden. Die wären z. B.:

  • Ein Haltegliedsystem mit analogem Ausgang, ein dynamisches System G(s) und Abtastsystem für eine Ausgangsfolge,
  • Ein Abtastsystem einer analogen Regelabweichung, Mikroprozessor für den Regelalgorithmus des Systems G(s) und ein Haltegliedsystem für die Ausgabe eines kontinuierlichen Signals als Stellgröße für eine kontinuierliche Regelstrecke.

Das obere Grafikbild zeigt die Kombination der Funktionsblöcke Halteglied, kontinuierliches System G(s) und Abtaster.

Damit ein kontinuierliches System G(s) in eine (Impuls-)Übertragungsfunktion G(z) definiert werden kann, muss das System durch eine Impulsfolge (Wertefolge) gespeist und am Ausgang ein Abtaster eingesetzt sein, der synchron zur Eingangsfolge eine Ausgangsfolge realisiert. Das Halteglied vor dem dynamischen System wandelt die Impulsfolge in ein quasikontinuierliches Signal um. Das kontinuierliche System-Ausgangssignal wird über einen Abtaster als Ausgangsfolge definiert.

Die s-Übertragungsfunktion des Haltegliedes G_H(s) nullter Ordnung lautet: [Einzelnachweise 13]

G_H(s)=\frac {\bar U(s)}{ \hat U(s)}=\frac {1-e^{T_A \cdot s}} s

Die z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) des Haltegliedes G_H(s) und der Regelstrecke G_S(s) wird durch die z-Transformation von  \mathcal Z \{ G_H(s) \cdot G_S(s) \} berechnet.

Die z-Übertragungsfunktion von Halteglied und Regelstrecke lautet:

G_{HS}(z)=\left. \mathcal Z \{ G_H(s) \cdot G_S(s) \right|_{t=kT_A} \}=\mathcal Z \{ G_H(s) \cdot G_S(s) \}

In diese Gleichung wird G_H(s) eingesetzt:

G_{HS}(z)=\mathcal Z \biggl \{ \frac {1-e^{-T_As}} {s} \cdot G_S(s) \biggr \}= \mathcal Z \biggl \{ \frac {G_S(s)} s \biggr \} - \mathcal Z \biggl \{ \frac {e^{-T_As} \cdot G_S(s)} s \biggr \}

Eine Multiplikation mit e^{-sT_A} entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzyklus T_A und damit einer Multiplikation mit z^{-1}.

G_{HS}(z)=\mathcal Z \biggl \{ \frac {1-e^{-T_As}} {s} \cdot G_S(s) \biggr \}=(1-z^{-1}) \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac {G_S(s)} s \biggr \}

Die z-Übertragungsfunktion der Reihenschaltung eines Haltegliedes nullter Ordnung mit einem kontinuierlichen System ergibt sich aus der Laplace-Transformierten der Sprungantwort G_S(s), multipliziert mit \frac {z-1} z. (Siehe Tabelle  \frac 1 s \ \circ \!\!-\!\!\bullet \ \frac {z-1} z):

G_{HS}(z)= \frac {Y{(z)}} {U{(z)}}= \frac {z-1} z \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac {G_S(s)} s \biggr \}

Analog wie bei der Regelstrecke G_S(s) kann für die im 2. Teil des Bildes dargestellte Anordnung der Funktionsblöcke Abtaster, Regelalgorithmus des Reglers und Halteglied die gleiche Form der Gleichung der z-Transformation benutzt werden. Ein- und Ausgangsgröße und die Systemgröße des Reglers G_R(s) werden getauscht:

G_{HR}(z)= \frac {U{(z)}} {E{(z)}}= \frac {z-1} z \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac {G_R(s)} s \biggr \}

Um die z-Transformation des kontinuierlichen Systems G(s) bilden zu können, werden die Korrespondenztabellen angewendet. Steht für die gegebene s-Übertragungsfunktion G(s) kein Eintrag für die z-Transformation zur Verfügung, muss eine Partialbruchzerlegung von G(s)/s vorgenommen werden.

Beispiel: z-Transformation eines IT_1-Gliedes.

G(s)=\frac 1 {s \cdot (s+1)}

Gesucht z-Übertragungsfunktion G_{HS}(z) des kombinierten Systems:

G_{HS}(z)= \frac {Y{(z)}} {U{(z)}}= \frac {z-1} z \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac 1 {s^2 \cdot (s+1)} \biggr \}

Partialbruchzerlegung von

\frac 1 {s^2 \cdot (1+s)}= \frac 1 {s^2} - \frac 1 s + \frac 1 {(s+1)}

z-Transformation der Partialbrüche in den z-Bereich:

G_{HS}(z)= \frac {Y{(z)}} {U{(z)}}= \frac {z-1} z \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac 1 {s^2} - \frac 1 s + \frac 1 {(s+1)} \biggr \} = \frac {z-1} z \cdot \biggl \{ \frac {T_A \cdot z}{(z-1)^2} - \frac z {z-1} + \frac z {z-e^{-T_A}} \biggr \}

Durch Ausmultiplizieren der Brüche ergibt sich die z-Transformation:

 G_{HS}(z)=\frac {Y(z)}{U(z)}=\frac {z-1} z -1 + \frac {z-1} {z-e^{-T_A}}

z-Übertragungsfunktionen der Standardregler[Bearbeiten]

Es gelten hier allgemein die formalen Begriffe der Ein- und Ausgangsgrößen der Systemtheorie: Eingangssignal = U(z), Ausgangssignal Y(z).
Für die Belange der Regler gelten die Eingangs- und Ausgangsgrößen des Reglers zu einem Regelkreis lauten: E(z) und U(z).

Die Regelalgorithmen mit den allgemeinen Koeffizienten lauten nach der rekursiven Rechenvorschrift: [Einzelnachweise 14]

y_{(k)}=a_1 \cdot y_{(k-1)}+b_0 \cdot u_{(k)}+b_1 \cdot u_{(k-1)}+b_2 \cdot u_{(k-2)}

Die z-Transformation der Differenzengleichung liefert die z-Übertragungsfunktion GR(z) des Reglers:

G_R(z) = \frac {Y(z)} {U(z)}=\frac{b_0+b_1 \cdot z^{-1}+b_2 \cdot z^{-2}} {1-a_1 \cdot z^{-1}}=\frac {b_0 \cdot z^2+b_1 \cdot z+b_2}{z^2-a_1 \cdot z}

Tabelle der z-Übertragungsfunktionen der Standardregler (Typ II, Obersumme)

(ai = Koeffizienten des Nennerpolynoms, bi = Koeffizienten der Zählerpolynoms, TI = TN = 1 / KI = Zeitkonstante = Nachstellzeit, TV = Vorhaltezeit, TA = Abtastzeit)

Reglerart z-Übertragungsfunktion GR(z) der Standardregler
P-Regler G_R(z) =b_0, \ b_0 = K_R
I-Regler G_R(z)= \frac {b_0 \cdot z}{z-a_1}= \frac {b_0}{1-a_1 \cdot z^{-1}}

a_1 = 1; \ b_0=K_I \cdot T_A
PD-Regler G_R(z)=\frac {b_0 \cdot z +b_1}z=b_0+b_1 \cdot z^{-1}

b_0=K_R \cdot [1+ \frac {T_V} {T_A}]; \ b_1=-K_R \cdot \frac {T_V} {T_A}
PI-Regler G_R(z)= \frac {b_0 \cdot z+b_1} {z-a_1}= \frac {b_0+b_1 \cdot z^{-1}} {1-a_1 \cdot z^{-1}}

a_1=1; \ b_0 = K_R \cdot \left[1+ \frac {T_A}{T_N}\right]; \ b_1 = -K_R
PID-Regler G_R(z)=\frac {b_0 \cdot z^2 + b_1 \cdot z +b_2} {z^2 -a_1 \cdot z} = \frac {b_0 + b_1 \cdot z^{-1}+ b_2 \cdot z^{-2}}{1-a_1 \cdot z^{-1}}

a_1=1; \ b_0=K_R \cdot \left[1+ \frac {T_A} {T_N}+ \frac {T_V} {T_A}\right]; \ b_1=-K_R \cdot \left[1 + 2 \cdot \frac {T_V} {T_A}\right]; \ b_2 =K_R \cdot \frac {T_V} {T_A}

Umwandlung einer z-Übertragungsfunktion in eine Differenzengleichung[Bearbeiten]

Eine gegebene z-Übertragungsfunktion lässt sich in eine Differenzengleichung umwandeln. Dazu sind folgende Schritte erforderlich. [Einzelnachweise 15]

Die Übertragungsfunktion wurde durch den Koeffizienten a_n dividiert, um z^n freistellen zu können.

Diese Form der Übertragungsfunktion wurde entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

 G(z) = \frac {Y(z)} {U(z)} = \frac {b_m \cdot z^m + b_{m-1} \cdot z^{m-1} + b_{m-2}\cdot z^{m-2} \cdots + b_1 \cdot z + b_0 } {z^n + a_{n-1} \cdot z^{n-1} + a_{n-2} \cdot z^{n-2} + \cdots + a_1 \cdot z + a_0} = \frac {\text{Zähler}(z)} {\text{Nenner}(z)}
  • Die Systemausgangsgröße Y(z) und die Systemeingangsgröße U(z) werden kreuzweise mit den Polynomen der z-Übertragungsfunktion multipliziert:
b_m \cdot z^m \cdot U(z) + b_{m-1} \cdot z^{m-1}\cdot U(z) + b_{m-2}\cdot z^{m-2}\cdot U(z)+ \cdots + b_1 \cdot z \cdot U(z)+ b_0 \cdot U(z)=
z^n\cdot Y(z) + a_{n-1} \cdot z^{n-1}\cdot Y(z) + a_{n-2} \cdot z^{n-2}\cdot Y(z) + \cdots + a_1 \cdot z\cdot Y(z) + a_0\cdot Y(z)
  • Die Zähler- und Nennerpolynome werden durch die höchste Potenz von z dividiert:
b_m \cdot z^{-(n-m)} \cdot U(z) + b_{m-1} \cdot z^{-(n-m+1)}\cdot U(z) + b_{m-2}\cdot z^{-(n-m+2)}\cdot U(z)+ \cdots + b_0 \cdot z^{-n} \cdot U(z)= Y(z) + a_1 \cdot z^{-(n-1)}\cdot Y(z) + a_2 \cdot z^{-(n-2)}\cdot Y(z) + a_0 \cdot z^{-n}\cdot Y(z)
  • Mit der Anwendung des Rechtsverschiebungssatzes der z-Transformation entsteht die Differenzengleichung:
b_m \cdot u[k-n+m]+b_{m-1} \cdot u[k-n+m-1]+\dots +b_1 \cdot u[k-n+1]+b_0 \cdot u[k-n]=y[k]+a_{n-1} \cdot y[k-1]+ \dots +a_1 \cdot y[k-n+1]+a_0 \cdot  y[k-n]
  • Die Differenzengleichung wird nach y(k) aufgelöst. Damit entsteht eine Rekursionsgleichung zur Berechnung der Ausgangsgröße y_{(k)} des Systems für beliebige Eingangssignale u_{(k)}.
y_{k}= -a_{n-1} \cdot y_{(k-1)}- \dots - a_1 \cdot y_{(k-n+1)} -a_0 \cdot y_{(k-n)} + b_m \cdot u_{(k-n+m)} + \dots +  b_1 \cdot u_{(k-n+1)}+ b_0 \cdot u_{(k-n)}

Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich f(kTA)[Bearbeiten]

Für die Programmierung des Mikrocomputers des Digitalreglers werden Differenzengleichungen benötigt, die durch Überführung der z-Übertragungsfunktion des z-Bildbereiches in den diskreten Zeitbereich f(k) gewonnen wird.

Die inverse z-Transformation liefert für F(z) wieder die Werte der Zahlenfolge:

 \mathcal Z^{-1} \{F(z) \}=f(kT_A) für  k = (0; 1; 2; 3; \cdots) . [Einzelnachweise 16]

Dazu sind drei Verfahren gegeben:

Durch die Polynomdivision wird die z-Transformierte F(z) in eine konvergierende Potenzreihe nach  z^{-i} entwickelt. Dividiert man das Zählerpolynom von F(z) durch das Nennerpolynom nach den Regeln der der Polynomdivision, so ergibt sich die gewünschte Potenzreihe. Die Vorfaktoren der Potenzen von z sind die gesuchten Werte der Zahlenfolge  f(kT_A).
  • Partialbruchzerlegung
Die Rücktransformation von F(z) erfolgt durch die Partialbruchzerlegung mit Hilfe der zugehörigen Korrespondenztabelle. Die Partialbrüche sollen die Form  \frac z {z-z_i} haben. Die inverse z-Transformation ergibt  f(kT_A) als Summe der rücktransformierten Partialbrüche.
Die inverse z-Transformation ist über das komplexe Umlaufintegral bestimmt. Die Lösung des Integrals lässt sich auf die Bestimmung der Residuen  Res \{z_i \} zurückführen.
f(kT_A) = \sum_i Res \{F(z) \cdot z^{k-1} \} \quad |_{Z=Z_i}

Berechnungsbeispiele zur z-Transformation[Bearbeiten]

Beispiel 1: z-Transformierte der Sprungfunktion der Eingangsgröße u_{\sigma}(t):

Die z-Transformierte der normierten Sprungfunktion u_{\sigma}(t) = 1 für t>0 ist zu ermitteln.

Lösung:

Die kontinuierliche Eingangsgröße u(t) wird als Sprungfunktion (Einheitssprung) zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Wert 1 abgetastet.
Durch Abtastung entsteht eine Wertefolge mit konstanten Amplituden = 1.

 u(kT_A) = u_{(k)} = 0(-1), 1(0), 1(T_A), 1(2T_A), 1(3T_A) \dots

oder die Impulsfolgefunktion:

 u^*(t) = \sum_{k=0} ^\infty u_{(k)} \cdot \delta (t-kT_A)

Die z-Transformation lautet damit:

 \mathcal Z \{u_k \} = u(z) =\sum_{k=0} ^\infty u_k \cdot z^{-k} = \sum_{k=0} ^\infty z^{-k} \quad \quad \text{mit}\ u_k=1

Der Grenzwert für z^{-n} für n \to \infty und |z|>1 (Konvergenz) ist Null.
Die z-Transformierte der Einheitssprungfunktion ist damit:

 \mathcal Z \{u_k \} = u(z) =\sum_{k=0} ^\infty u_k \cdot z^{-k} =\frac z {z-1}

Beispiel 2: z-Transformierte des Produktes einer Exponentialfunktion f(t) mit dem Einheitssprung u(t)=1:

Gegeben: Exponentialfunktion  y(t) = e^{-t / T_1}

Einheitssprung u_{\sigma} = 1 für t>0.

Gesucht: Ergebnis der beiden Beziehungen als Produkt im z-Bereich:

Die Ausgangswertefolge y(kT_A) lautet:

 y(kT_A) = y_{(k)} = e^{- \frac {kT_A} {T_1}}

Daraus ergibt sich die z-Transformierte:

 y(z) =\sum_{k=0} ^\infty y_k \cdot z^{-k} = \sum_{k=0} ^\infty e^{- \frac {kT_A} {T_1}} \cdot z^{-k}

Substituiert man

z^'=z \cdot e^{T_A/T_1}, \quad (z^')^{-k}=z^{-k} \cdot e^{-kT_A/T_1} ,

so lautet die z-Transformierte

y(z)=\mathcal Z \{y(kT_A)\}=\mathcal Z \{e^{-kT_A/T_1}\}=\frac z {z-e^{-T_A/T_1}}

Beispiel 3: Ermittlung der z-Übertragungsfunktion aus einem Verzögerungsglied 1. Ordnung

Gegeben: Übertragungsfunktion G(s) des PT1-Gliedes mit der Verstärkung K und der Zeitkonstante T1:

G(s)=\frac {Y(s)}{U(s)}=\frac K {1+s \cdot {T_1}}

Gesucht: z-Übertragungsfunktion G(z) aus G(s).

Dazu wird zuerst die Gewichtsfunktion g(t) des PT1-Gliedes ermittelt.
Aus der Laplace-Korrespondenztabelle findet man für das Zeitverhalten f(t) der Übertragungsfunktion G(s)G(s) für die Gewichtsfunktion (Impulsantwort):

g(t) = \mathcal L^{-1} \{G(s) \}=\frac K {T_1} \cdot e^{- \frac t {T_1}}

Für die Eingangsimpulsfolge g(kT_A) wird die z-Transformation angewendet.
Für die Funktion f(t) folgt aus einer Korrespondenztabelle der z-Transformation zum Zeitverhalten f(t)  e^{- a\cdot t} für die Gewichtsfunktion (Impulsantwort).
Der Faktor K / T_1 hat keine Auswirkungen auf die Transformation und wird später berücksichtigt:

 \mathcal Z \{e^{- at}\}=\frac z {z-e^{- a \cdot T_A}}

Daraus ergibt sich unter Berücksichtigung des Faktors K / T_1 die gesuchte z-Übertragungsfunktion:

G(z) = \mathcal Z \{g(kT_A)\} = \frac K {T_1} \cdot \frac z {z-a_1 } \qquad \text {mit} \, a_1 = e^{-\frac {T_A} {T_1}}; \quad T_1 = 1/a

Beispiel 4: z-Übertragungsfunktion einer Differenzengleichung für den Integralalgorithmus:

Definition der Signale:
Analoge Regeldifferenz = e(t), Abgetastete Regeldifferenz =  e_{(k)},
Reglerausgangsgröße =  u_{(k)}, Zeitkonstante K_I=1/T_N.

Gegeben: Differenzengleichung:

u_{(k)}=u_{(k-1)}+K_I \cdot T_A \cdot e_{(k-1)}
(Differenzengleichung nach Euler-Vorwärts, wegen e_{(k-1)}) entsteht "Untersumme".

Gesucht: z-Übertragungsfunktion.

Nach der Transformationsvorschrift ändern sich die Größen:

u_{(k)} \longrightarrow U(z), \qquad u_{(k-1)} \longrightarrow z^{-1} \cdot U(z), \qquad e_{(k-1)} \longrightarrow z^{-1} \cdot E(z).

Daraus folgt für die z-Transformation:

U(z)=z^{-1}\cdot U(z)+ K_I \cdot T_A \cdot z^{-1} \cdot E(z)

Wird U(z) / E(z) ausgeklammert, entsteht die z-Übertragungsfunktion des Integralalgorithmus:

G_R(z)= \frac {U(z)}{E(z)}=\frac {K_I \cdot T_A \cdot z{-1}}{1-z^{-1}} = \frac {K_I \cdot T_A}{z-1}

Für die gleiche Differenzengleichung des Integrationsalgorithmus nach Euler-Rückwärts (Obersumme):

u_{(k)}=u_{(k-1)}+K_I \cdot T_A \cdot e_{(k)}

lautet die z-Übertragungsfunktion mit  e_{(k)} \to E(z) :

G_R(z)= \frac {U{(z)}} {E{(z)}}= \frac {K_I \cdot T_A} {1-z^{-1}}

Aus der Übertragungsfunktion GR(z) wird die Stellgröße des Reglers U(z) abgeleitet mit der Regelabweichung E(z) = W(z) - Y(z):

Anwendung der z-Übertragungsfunktion für einen digitalen PI-Regler mit Abtastfunktion und Halteglied[Bearbeiten]

Das nachfolgende Berechnungsbeispiel zeigt die über die z-Transformation ermittelte Differenzengleichung eines digitalen PI-Reglers im Vergleich mit den Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts.

Digitale Regler in industriellen Erzeugnissen werden gegenüber analogen Reglern zunehmend in großen Stückzahlen produziert. Dafür sind verschiedene Gründe gegeben:

  • Die Integrationsrate der Mikrorechner hat soweit zugenommen, dass die Schnittstellen wie AD- und DA-Wandler wie auch Haltefunktionen Bestandteil eines einzigen hochintegrierten Bausteins sind.
  • Kostengünstige Produktion der Hardware und deren Prüfung,
  • Jederzeit - vor Anlagen-Auslieferung - können per Software Parameteränderungen oder Regler-Struktur-Änderungen geändert werden.

Mit der Anwendung der z-Transformation auf abgetastete Signale und des gewünschten Regelalgorithmus entsteht die z-Übertragungsfunktion.

Die Hauptaufgabe der Realisierung eines digitalen Reglers ist die Aufstellung der z-Übertragungsfunktion des Reglers bzw. das Finden der zur Programmierung des Mikrocomputers benötigten Rekursionsgleichung. Das nachstehende Berechnungsbeispiel aus einem Fachbuch zeigt einen digitalen PI-Regler, der durch eine Reihenschaltung von Halteglied, Reglerfunktion GR(s) und Abtaster approximiert wird.

Die gesuchte z-Übertragungsfunktion des digitalen Reglers D(z) besteht aus dem Produkt von Halteglied H_0(z)=\frac {z-1} z und Reglerfunktion GR(s):

D(z)= \frac {U{(z)}} {E{(z)}}= \frac {z-1} z \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac {G_R(s)} s \biggr \}

Berechnungsbeispiel eines PI-Reglers als Reihenschaltung von idealem Abtaster, PI-Regleralgorithmus und Halteglied.[Einzelnachweise 17]

Gegeben: s-Übertragungsfunktion eines PI-Reglers GR:
G_R(s) = \frac {U{(s)}} {E{(s)}}= \frac {K_P \cdot (1+T_N \cdot s)} {T_N \cdot s} = K_P+ \frac {K_P}{T_N \cdot s}

Parameter des PI-Reglers mit folgenden Zahlenwerten:

Verstärkung: K_P=2; Zeitkonstante: T_N=1,5[s]; Abtastzeit: T_A=0,1[s];

Gesucht: z-Übertragungsfunktion und daraus die Differenzengleichung mit dem Regelalgorithmus des PI-Reglers:

D(z)=\frac {U(z)}{E(z)}= H_0(z) \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac {G_R(s)} s \biggr \}

Nach Anwendung der oben stehenden abgeleiteten Gleichung mit Eintrag der PI-Komponenten für G_R(s) müssen die Komponenten des s-Bereichs in den z-Bereich transformiert werden:

D(z)= \frac {z-1} z \cdot \mathcal Z \biggl \{ \frac {K_P} s + \frac {K_P}{T_N \cdot s^2} \biggr \}= \frac {z-1} z \cdot \mathcal Z \biggl \{ K_P \cdot \frac 1 s + \frac {K_P}{T_N} \cdot \frac 1 {s^2} \biggr \}

Die Terme des s-Bereichs werden z-transformiert:

D(z)= \frac {z-1} z \cdot \biggl \{ K_P \cdot \frac z {z-1} + \frac {K_P}{T_N} \cdot \frac {T_A \cdot z}{(z-1)^2} \biggr \} = \frac {K_P \cdot T_N+K_P \cdot (T_A-T_N) \cdot z^{-1}} {T_N-T_N \cdot z^{-1}}

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion des Reglers mit Zahlenwerten:

D(z) = \frac {U{(z)}} {E{(z)}}= \frac {3-2,8 \cdot z^{-1}}{1,5-1,5 \cdot z^{-1}}= \frac {2-1{,}8667 \cdot z^{-1}} {1-z^{-1}}

Diese z-Übertragungsfunktion wird in Operatorendarstellung nach U(z) geordnet und als Differenzengleichung u_{(k)} im Mikroprozessor programmiert.

U(z) \cdot (1-z^{-1})= E(z) \cdot (2-1{,}8667 \cdot z^{-1})
U(z)-z^{-1} \cdot U(z)=2 \cdot E(z)-1{,}8667 \cdot E(z)

Durch Anwendung der Rechtsverschiebung um einen Abtastschritt "-1" ergibt sich für Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich die Differenzengleichung u_{(k)}.

u_{(kT_A)}-u_{(kT_A-1T_A)} = 2 \cdot e_{(kT_A)}-1{,}8667 \cdot e{(kT_A-1T_A)}

Diese Gleichung nach u_{(kT_A)} aufgelöst ergibt:

u_{(kT_A)}= u_{(kT_A-T_A)}+2 \cdot e_{(kT_A)}-1{,}8667 \cdot e_{(kT_A-T_A)}

In vereinfachter Schreibweise lautet die Differenzengleichung eines PI-Reglers für ein abgetastetes Regelsystem mit Halteglied bei TA = 0,1 [s]:

u_{(k)}= u_{(k-1)}+2 \cdot e_{(k)}-1{,}8667 \cdot e_{(k-1)}

Zum Vergleich die errechnete Differenzengleichung für TA = 0,01 [s] zur besseren Annäherung an die analytische Funktion:

u_{(k)}= u_{(k-1)}+2 \cdot e_{(k)}-1{,}9867 \cdot e_{(k-1)}
Sprungantwort eines digitalen PI-Reglers mit A/D-Wandler und Abtast-Halteglied am Reglerausgang.
Tabelle zur grafischen Darstellung der Sprungantwort des PI-Reglers mit TA = 0,1 [s] und e(k) = 1,
im Vergleich mit einer direkten Anwendung von Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts.
Folge k Zeit TA
[sec]
Differenzengleichung aus z-Transformation
Ausgangssignal u_{(k)}
Differenzengleichung
Euler-Rückwärts
u_{(k)} Untersumme
Differenzengleichung
Euler-Rückwärts
u_{(k)} Obersumme
0 0 u_{(k)} = 0 + 2 \cdot 1 - 1{,}8667 \cdot 0 = 2{,}0000 2,0000 2,1333
1 0,1 u_{(k)} = 2{,}0000 + 2 \cdot 1 - 1{,}8667 \cdot 1 = 2{,}1333 2,1333 2,2667
2 0,2 u_{(k)} = 2{,}1333 + 2 \cdot 1 - 1{,}8667 \cdot 1 = 2{,}2666 2,2667 2,4000
3 0,3 u_{(k)} = 2{,}2666 + 2 \cdot 1 - 1{,}8667 \cdot 1 = 2{,}3999 2,4000 2,5333
4 0,4 u_{(k)} = 2{,}3999 + 2 \cdot 1 - 1{,}8667 \cdot 1 = 2{,}5332 2,5333 2,6667
5 0,5 u_{(k)} = 2{,}5332 + 2 \cdot 1 - 1{,}8667 \cdot 1 = 2{,}6665 2,6667 2,8000
6 0,6 u_{(k)} = 2{,}6665 + 2 \cdot 1 - 1{,}8667 \cdot 1 = 2{,}7998 2,8000 2,9333
10 1,0 3,3330 3,3330 3,4667
15 1,5 3,9995 4,0000 4,1333

Qualitativer Vergleich zwischen PI-Reglern mit Differenzengleichungen über die z-Transformation und Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts

  • Schnittstelle des Rechenbeispiels:
Das Fachbuch-Rechenbeispiel der Bestimmung der Differenzengleichung eines PI-Reglers über die z-Transformation ist offensichtlich als Untersumme definiert. Dieses Beispiel setzt ideale Schnittstellen mit einem Halteglied nullter Ordnung (entspricht einem Zeitschritt TA) und einen idealen Mikrorechner voraus.
  • Differenzengleichungen als Funktion der Ober- und Untersumme:
Die Grafik zeigt den Unterschied der Stellgröße für die Berechnungsmethoden der Differenzengleichungen nach der Ober- und Untersumme.
Die grafische Darstellung der Sprungantwort des PI-Reglers laut der Tabellen-Berechnungspunkte y_{(k)} entsprechen einer Rechteckfunktion, weil am Reglerausgang für die Wertefolge ein Halteglied für den Zeitraum TA wirkt, das nach jedem Rechenschritt gelöscht wird. Die errechneten Daten der Differenzengleichung über die z-Transformation und die Daten nach den Differenzengleichungen Euler-Rückwärts-Untersumme sind identisch.
Sowohl die errechneten Ausgangsgrößen des Reglers der Differenzengleichung als Wertefolgen y_{(k)} über die z-Übertragungsfunktion wie auch die errechneten Wertefolgen der Ausgangsgrößen y_{(k)} nach den Differenzengleichungen der Methode Euler-Rückwärts (Untersumme und Obersumme) entsprechen nur dann der analytischen Funktion der Sprungantwort des PI-Reglers, wenn die Abtastzeit T_A=\Delta t gegen Null geht.
  • Verwendung der Differenzengleichungen der Standardregler ohne z-Transformation möglich:
Der Vergleich der Rechenergebnisse führt zu der Auffassung, dass für die Bestimmung der Differenzengleichungen der Standardregler die im Abschnitt Tabelle der Differenzengleichungen der Standardregler (Euler Rückwärts) aufgeführten Differenzengleichungen unmittelbar ohne z-Transformation verwendet werden können.
Aus der Übertragungsfunktion des s-Bereiches wird deutlich, dass der PI-Regler in der Reihenstruktur aus einem I-Glied und einem PD1-Glied besteht.
Übertragungsfunktion des PI-Reglers in der Parallelstruktur:
\frac U{E}{(s)}=K_P+\frac{K_P}{T_N\cdot s} = K_P \left(1 + \frac 1{T_N\cdot s}\right)
Wird der Klammerausdruck der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, entsteht die Produktdarstellung in der Reihenstruktur:
\frac U{E}{(s)}=K_{P}\frac{T_N\cdot s+1}{T_N \cdot s}=G_I(s) \cdot G_{PD}(s)= \frac {K_P}{T_N\cdot s} \cdot (T_N \cdot s+1)
KPI = KP / TN ist die Verstärkung des PI-Reglers.
Für die Berechnung des PI-Reglers werden zwei Differenzengleichungen 1. Ordnung benötigt. Dabei ist wegen der empfohlenen Reihenschaltung die Ausgangsgröße des I-Gliedes die Eingangsgröße des PD1-Gliedes. Die Ausgangsgröße des PD-Gliedes im zeitdiskreten Bereich ist das Folgeglied zum Zeitpunkt k \cdot \Delta t. Die Eingangsgröße des PI-Reglers ist die normierte zeitdiskrete Sprungfunktion 1(t)= 1(0); 1(\Delta t); 1(2\Delta t); 1 (3 \Delta t); \dots.
Die Differenzengleichung eines PI-Reglers nach der Untersumme als Reihenschaltung von I-Glied und PD1-Glied lautet:
\text {I-Glied:} \qquad e_{1(k)}=e_{1(k-1)}+ {e_{(k)}\cdot K_P \cdot \Delta t}/{T_N}
\text {PD-Glied:} \quad u_{(k)}=e_{1(k-1)}+[e_{1(k)}-e_{1(k-1)}] \cdot {T_N}/{\Delta t}
Anmerkung zum PD-Glied: e_{1(k-1)} bedeutet wegen Untersumme: aktuelles e_{1(k)} des I-Gliedes um einen Schritt (k-1) zurückgesetzt.
  • Genauigkeit der Approximation des Regelalgorithmus des PI-Reglers:
Die Güte der Approximation ist durch das Verhältnis der Abtastzeit T_A= \Delta t zur dominanten Zeitkonstante T des Reglers und der Regelstrecke bestimmt. Soll ein PD-Glied des PI-Reglers ein PT1-Glied der Regelstrecke kompensieren, sollte dieses Verhältnis 0,1 bis 0,01 betragen.
Welche Genauigkeit des Regelvorgangs erreicht werden muss, hängt von der Vorgabe des Lastenheftes und von der Art der Regelstrecke ab.
  • Reale Schnittstellen und reale Mikrorechner berücksichtigen:
Bei schnellen Regelstrecken können die realen Schnittstellen des Reglers durch die signaltechnischen Verzögerungen als Ersatztotzeit berücksichtigt werden. Im Gegensatz zur Laplace-Transformation kann eine z-transformierte Übertragungsfunktion mit einer Totzeit im Rahmen der Rechenregeln der z-Transformation durch Rückwärtsverschiebung "Verschiebung nach rechts" um d = Tt / TA-Abtastschritte als komplette z-Übertragungsfunktion berechnet werden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik. Mit MATLAB und Simulink. 10. Auflage. Europa-Lehrmittel, 2014, ISBN 978-3-8085-5679-5.
  •  Gerd Schulz: Regelungstechnik 2 / Mehrgrößenregelung, Digitale Regelungstechnik, Fuzzy-Regelung. 2. Auflage. Oldenbourg, 2008, ISBN 978-3-486-58318-2.
  •  Jan Lunze: Regelungstechnik 2, Mehrgrößensysteme, Digitale Regelung. 7. Auflage. Springer Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-10197-7.
  •  Alan V. Oppenheim, R. W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Pearson Education, Upper Saddle River, N. J. 2004, ISBN 3-82-737077-9.
  •  Norbert Bischof: Struktur und Bedeutung: Eine Einführung in die Systemtheorie für Psychologen, mit einer Einführung in die Methoden der mathematischen Systemanalyse einschließlich Z-Transformation. 2., korrigierte Auflage. Verlag Hans Huber, Bern 1998, ISBN 3-456-83080-7.
  •  H. Clausert, G. Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2: Wechselströme, Drehstrom, Leitungen, Anwendungen der Fourier-, der Laplace- und der Z-Transformation. 9. Auflage. Verlag R.Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-27582-8.
  •  N. Fliege: Systemtheorie. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-06140-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  E. R. Kanasewich: Time sequence analysis in geophysics. 3. Auflage. University of Alberta, 1981, ISBN 978-0-88864-074-1, S. 185–186.
  2. John R. Ragazzini and Lotfi A. Zadeh: The analysis of sampled-data systems. In: Trans. Am. Inst. Elec. Eng.. 71, Nr. II, 1952, S. 225–234.
  3.  Cornelius T. Leondes: Digital control systems implementation and computational techniques. Academic Press, 1996, ISBN 978-0-12-012779-5, S. 123.
  4.  Eliahu Ibrahim Jury: Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons, 1958.
  5. Prof. Dr. W. Schuhmacher: Technische Universität Braunschweig, Vorlesungsskript Grundlagen der Regelungstechnik, 309 Seiten, erstellt 6.10.2011, Kapitel: Diskrete Signalverarbeitung durch Digitalrechner.
  6. Oliver Nelles: Zustandsraum und Digitale Regelung. Universität Siegen, 7. Juli 2014, Kapitel: Z-Transformation, S. 232 (Vorlesungsskript, 286 Seiten).
  7. Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, 7. Auflage, Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3817118076, Kapitel: Digitale Regelungssysteme / z-Transformierte der Elementarfunktionen.
  8. Oliver Nelles: Zustandsraum und Digitale Regelung. Universität Siegen, 7. Juli 2014, Kapitel: Z-Transformation (Vorlesungsskript, 286 Seiten).
  9. Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 7. Auflage, Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3817118076, Kapitel: z-Transformation / Definition der z-Transformation.
  10. Siehe: Gerd Schulz: Regelungstechnik 2. Mehrgrößenregelung, Digitale Regelungstechnik, Fuzzyregelung. 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, 2008, Kapitel: Die z-Transformation / Definition.
  11. Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, 7. Auflage, Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3817118076, Kapitel: z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion).
  12. Gerd Schulz: Regelungstechnik 2 Mehrgrößenregelung, Digitale Regelungstechnik, Fuzzyregelung. 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, 2008, Kapitel: Diskrete Übertragungsfunktion.
  13. Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, 7. Auflage, Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3817118076, Kapitel: z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Elementen.
  14. Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, 7. Auflage, Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3817118076, Kapitel: z-Transformation / z-Übertragungsfunktion von Regelalgorithmen.
  15. Prof. Dr. Ferdinand Svaricek: Universität Bundeswehr München, Vorlesungsskript: 83 Seiten, erstellt April 2012, Kapitel: z-Übertragungsfunktion und Differenzengleichung.
  16. Gerd Schulz: Regelungstechnik 2. Mehrgrößenregelung, Digitale Regelungstechnik, Fuzzy-Regelung. 2. Auflage, Verlag Oldenbourg, 2008, Kapitel: Die z-Transformation.
  17. Siehe: Gerd Schulz: Regelungstechnik 2. Mehrgrößenregelung, Digitale Regelungstechnik, Fuzzyregelung. 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, 2008, Hauptkapitel: Diskrete Übertragungsfunktion, Unterkapitel: z-Übertragungsfunktion des Reglers, Berechnungsbeispiel 10.7.