Z-Transformation

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Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich (zyklisch) abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Sie ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Die z-Transformation gilt für Signale im diskreten Zeitbereich (Wertefolgen), während die Laplace-Transformation für entsprechende Berechnungen im kontinuierlichen Zeitbereich dient. (Bezüglich des Zusammenhangs zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation siehe auch: Matched-z-Transformation.)

Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die z-Übertragungsfunktion dient der Systemanalyse, d. h. der Analyse des Systemverhalten bei verschiedenen Anregungen und insbesondere auch der Stabilitätsanalyse. Der Verlauf der Systemausgangsgröße kann bei gegebener Eingangsgröße durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich und dann im Zeitbereich dargestellt werden.

Die z-Transformation wird größtenteils für die digitale Steuer- und Regelungstechnik und zur Berechnung digitaler Filter angewendet. Man kann sie aber auch zur Gewinnung von expliziten Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen einsetzen.

Einführung in die z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geschichtliche Entwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die grundsätzlichen Ideen zur z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurden 1947 von Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.[Einzelnachweise 1]

Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.[Einzelnachweise 2][Einzelnachweise 3]

Die Modifizierte z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.[Einzelnachweise 4]

Bedeutung der z-Transformation und Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der z-Bereich ist eine abstrakte mathematische Welt, die eine Reihe von Eigenschaften hat, die bei Untersuchungen von Systemeigenschaften sehr hilfreich ist (Zitat: Vorlesungsskript Uni Wien).

Abgetastete Signale werden benötigt, wenn Computer zeitinvariante dynamische Systeme und Signale zeitdiskret in Form von Differenzengleichungen berechnen sollen. Dabei geht es meist um die Anwendung für die digitale Regelung und Regelstrecken.

Abgetastete Signale im Abstand können mit Hilfe der z-Transformation mathematisch definiert werden. Die zeitkontinuierliche Beschreibung des abgetasteten Signals als modulierte Impulsfolgen mit stellt nur eine mathematische Modellvorstellung dar. Die unendlich hohen und schmalen Dirac-Impulse existieren in Wirklichkeit nicht. In der Realität müssen die zeitlichen Abtastfolgen sehr klein im Verhältnis der Systemzeitkonstanten liegen, anderenfalls wird das Rechenergebnis ungenau. Die rekursiven Differenzengleichungen bilden nur Annäherungen an eine gewünschte Originalfunktion.

Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung, wie die Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Das Verständnis der Anwendung der z-Transformation im Gegensatz zur Laplace-Transformation ist ungleich schwieriger, weil die Abtastung bei Einsatz von Mikrocomputern eine Ein-Ausgangshardware mit Zeitverhalten darstellt. Für die Beschreibung dynamischer Systeme z. B. bei Reglern zur Parametrisierung müssen Regelstrecken identifiziert und Differenzengleichungen gebildet werden.

Die Anwendung der z-Transformation erleichtert die Prozedur der Berechnung der zeitdiskreten Signalfolgen mit Differenzengleichungen zu z-Übertragungsfunktionen. Diese werden mit inverser z-Transformation zurück vom z-Bereich in den k-Bereich der abgetasteten Signale transformiert und liefern damit als Ausgangsgröße Signalfolgen im diskreten Zeitbereich.

Mit Hilfe der z-Transformation können aus systembeschreibenden Differenzengleichungen mit zeitdiskreten Signalen zu z-Übertragungsfunktionen als gebrochen rationale Funktionen berechnet werden, die – ähnlich bei der Laplace-Transformation – durch Pole und Nullstellen das Systemverhalten identifizieren. Damit sind algebraische Operationen mit anderen z-transformierten Systemen und z-transformierten Signalen möglich.

Gleichungen und Eigenschaften der z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die häufig verwendeten z-Transformationsbeziehungen zwischen dem k- und z-Bereich werden in Tabellenform dargestellt und erleichtern damit die Berechnungen (siehe #Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)).

Definitionen der verwendeten Variablen und Parameter:

= Signal im Bildbereich; = z-Variable; = Abtastzeit, = Abtastfolge = Nummerierung eines Folgegliedes, = Zahl bestimmter Abtastschritte, z. B. bei Verschiebungen.

Bilaterale z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die bilaterale z-Transformation eines Signals ist die formale Laurent-Reihe :

,

wobei alle ganzen Zahlen durchläuft und im Allgemeinen eine komplexe Zahl der Form:

ist. ist der Betrag von und der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann auch in kartesischer Form als Realteil und Imaginärteil beschrieben werden.

Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.

Unilaterale z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Substituiert man in der Beschreibung einer Abtastfolge im Laplace-Bereich den Ausdruck durch , so erhält man eine Potenzreihe in :

Dabei ist

Wenn nur nichtnegative Werte hat, kann die unilaterale z-Transformation definiert werden:

In der Signalverarbeitung wird die unilaterale z-Transformation für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften wie Linearität, Verschiebung, Faltung, Differentiation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Linearität. Die z-Transformierte von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.
  • Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um k nach rechts verschoben, so muss die z-Transformierte mit multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.
  • Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.
  • Differentiation .

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei und deren z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.

Dann gelten folgende Regeln:

Inverse z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die inverse z-Transformation kann mit der Formel

berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von liegt.

Die (unilaterale) z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet und .

Mit Residuum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

,
für

Mit Laurent-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Integrand wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient −1 der Laurent Reihe, also .

Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
,
.
Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
,
.

Bei wesentlicher Singularität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.

Grundlagen der z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben. Im Gegensatz dazu wird die Laplace-Transformation für kontinuierlichen Signale und Systeme verwendet.

Definition der Formelzeichen und Systemgrößen nachfolgender Systemdarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liste der wichtigsten Formelzeichen und Systemgrößen, die im Folgenden verwendet werden:

Formelzeichen Erklärung Bemerkung
Eingangssignal Werden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße
des Reglers als (Regelabweichung) bezeichnet.
Die Ausgangsgröße des Reglers ist dann gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke.
Ausgangssignal meist Systemantwort, bei Regelkreisen die Regelgröße.
Kleinbuchstaben Zeitbereich z. B.: f, u, y
Großbuchstaben Bildbereich z. B.: F, U, Y, G
Abtastzeit Zeitlicher Abstand der Abtastungen eines zeitdiskreten Signals.
Mit der Frequenz wird ein kontinuierliches Signal abgetastet.
Zeitintervall ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. In Verbindung mit Abtastung kann sein.
wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet.
Abtastfolge in einer unendlichen oder einer endlichen Folge.
wird auch für die Nummerierung der Werte in einer Folge verwendet.
Abtastschritte .
(n ist auch eine Bezeichnung für die Potenz der s-Variablen eines Nennerpolynoms)
Wertefolge Eine Folge der Werte:
Signal im Zeitbereich Zeitsignal (allgemein)
Zeitdiskretes Signal Wert des Signals zum Zeitpunkt .
Vereinfachte Schreibweise ist z. B. oder .
Laplace Variable
e Eulersche Zahl e = Eulersche Zahl ≈ 2,71828.
Laplace-Transformiert Laplace-Transformiertes Signal für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad:
Laplace-Transformiert Laplace-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad:
z-Variable
, z-transformiert z-transformiertes Signal bzw. z-Übertragungsfunktion für diskrete Systeme:
Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad:
Zeitkonstante Zeitkonstante eines dynamischen Systems.
Bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert:

Vergleich der diskreten und der kontinuierlichen Übertragungssysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

VERGLEICH diskretes System kontinuierliches System
Eigenschaften der betrachteten Systeme
  • Linear, zeitinvariant, dynamisch
  • Mindestens ein Eingangssignal und ein Ausgangssignal
Ein-/Ausgangssignal reelle Folge, Zeitreihe mit fortlaufendem konstanten Zeitintervalls kontinuierliches reelles Signal
Systembeschreibung im Zeitbereich Differenzengleichung gewöhnliche Differentialgleichungen
Transformation in den Bildbereich mit z-Transformation mit Laplace-Transformation
Operator-Schreibweise der Transformation
Inverse Transformation
Systembeschreibung im Bildbereich z-Übertragungsfunktion s-Übertragungsfunktion
Allgemeine Eigenschaften im Bildbereich:

Beziehung der Stabilität in der z-Ebene.
Stabilität: Pole im Inneren des z-Einheitskreises.
Grenzstabilität: Pole auf der z-Kreislinie.

Nullstellenanalyse für Übertragungsfunktionen G(s), G(z).
Die Übertragungsfunktion wird im Bildbereich als Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom dargestellt.

  • Übertragungsfunktion = Ausgangssignal / Eingangssignal = Zählerpolynom / Nennerpolynom
  • Die Auswertung des Nennerpolynoms führt zu Aussagen über die Stabilität des Systems.
  • Stabilitätsgebiet "linke s-Halbebene" wird in das Innere eines Einheitskreises der z-Ebene transformiert.
  • Einheitskreis mit Radius 1, Ordinate = Imaginärteil von z, Abszisse = Realteil von z.
  • Ablesung: Stabilität, Grenzstabilität, bei Instabilität liegen die Pole außerhalb des Einheitskreises.

Grundlagen Differenzengleichungen für lineare zeitinvariante Systeme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines zeitdiskreten dynamischen Systems können Differenzengleichungen verwendet werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten (der Verlauf der Systemausgangsgröße ) für ein gegebenes Eingangssignal im zeitdiskreten Bereich berechnen.

Differenzengleichungen entstehen meist aus systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.

Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall die Signaländerungen nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Teilsystems (Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals. Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit .

Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.

Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion G(s) zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil nur 4 verschiedene Typen von Differenzengleichungen erster Ordnung existieren, mit denen alle Formen von linearen Übertragungssystemen gebildet werden können, auch solche mit Schwingungsanteilen mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen. Diese Teilsysteme können beliebig multiplikativ, additiv, zurück gekoppelt oder strukturell vermascht sein und gelten sowohl für den s-Bereich wie auch im diskreten Zeitbereich.

Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das Euler-Streckenzugverfahren nach dem Rückwärts- oder Vorwärts-Differenzenquotienten als einfachstes numerisches Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme erster Ordnung der Übertragungsfunktionen G(s) Differenzengleichungen gebildet werden, indem z. B. an Stelle des Differenzialquotienten mit der Rückwärts-Differenzenquotient näherungsweise eingeführt wird.

In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei t = 0 für und alle Ableitungen von Null sind.

Beispiel der Entwicklung der Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:

Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet:

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten eingesetzt.

Anstelle der kontinuierlichen Systemgrößen und treten die aktuellen zeitdiskreten Werte und :

.

Damit lautet die nach umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes:

In gleicher Weise können die Differenzengleichungen von Systemen erster Ordnung aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden.

Tabelle der Differenzengleichungen (Euler-Rückwärts) der Elementarsysteme G(s) erster Ordnung
Elementarsysteme P-Glied I-Glied D-Glied PD1-Glied PT1-Glied
Übertragungsfunktion
Differenzengleichungen

(Mit K = Verstärkungsfaktor, = aktuelle Ausgangsgröße, = vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante, = aktuelle Eingangsgröße)

Die einmalige Anwendung einer Differenzengleichung zum Zeitpunkt ergibt für eine gegebene Eingangsfolge ein Folgeglied der Ausgangsfolge . Jedes Folgeglied bezieht sich auf eine zurückliegende Folge . Deshalb wird eine solche Differenzengleichung als Rekursionsgleichung bezeichnet, weil jedes Folgeglied eine Funktion des vorherigen Folgegliedes ist.

Die rekursive Anwendung von Differenzengleichungen zur Berechnung von Eingangs-Wertefolgen zu Ausgangs-Wertefolgen bedeutet die angenäherte Lösung der systembeschreibenden Differentialgleichung des Systemausgangssignals von Wertefolgen (Berechnungspunkten) .

Mit Hilfe eines Personal Computers kann das Systemverhalten eines dynamischen Systems oder eines Regelkreises mit Differenzengleichungen vollständig simuliert werden. Dabei wird eine endliche Anzahl von Berechnungsfolgen (Wertefolgen) festgelegt und die Rechenergebnisse der Teilsysteme – das Systemverhalten – tabellarisch und grafisch als Berechnungspunkte im Abstand dargestellt. Die Differenzengleichung enthält bereits die Lösungsvorschrift der Systemausgangsgröße in Annäherung an die systembeschreibende Differentialgleichung.

Handelt es sich bei dem dynamischen System um eine Hardware mit einer im zeitlichen Abstand abgetasteten Eingangsfolge , die über einen Mikrocomputer mit Differenzengleichungen zu einer Ausgangsfolge berechnet wird, kann mit Hilfe eines Haltegliedes eine treppenförmig gestufte quasi kontinuierliche Ausgangsgröße y(t) als Beispiel der prinzipiellen Funktion eines digitalen Reglers erreicht werden. Regelstrecken liegen in der Praxis meist als kontinuierliche Systeme vor, die eine kontinuierliche Stellgröße benötigen.

Differenzengleichungen höherer Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzengleichungen können auch aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen höherer Ordnung entwickelt werden, wenn ab dem Zeitpunkt die letzten vergangenen Ausgangs-Wertefolgen mit und die Eingangs-Wertefolgen mit bekannt sind.

Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die gewöhnlichen Differenzialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für beschrieben. Dabei sind und die höchsten Ableitungen der Ausgangssignale und Eingangssignale .

Eine gegebene gewöhnliche Differentialgleichung wird durch den Koeffizienten dividiert, um freistellen zu können. Diese Form der Differentialgleichung wird entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

.

Diese Differentialgleichung kann in eine Differenzengleichung überführt werden:

  • wird vereinfacht als geschrieben und entspricht einem aktuellen Folgeglied.
  • Die kontinuierlichen Systemgrößen und werden zeitdiskret dargestellt.
  • Die Ableitungen im Zeitbereich werden entsprechend der Ordnung durch Differenzenquotienten der zugehörigen Ordnung ersetzt.
Jede Ableitung der Systemgrößen wird im zeitdiskreten Bereich entsprechend der Ordnung als zurückliegende Folgeglieder der Eingangs- und Ausgangsfolgen k-1 bis k-n oder k-m berücksichtigt.

Daraus folgt die Differenzengleichung:

.

Damit kann die allgemeine Form der Differenzengleichung nach aufgelöst werden:

.

Für die numerische Berechnung eines dynamischen Systems wird die s-Übertragungsfunktion oder die zugehörige Differentialgleichung benötigt. Die Umsetzung einer systembeschreibenden Differentialgleichung in eine angenäherte Differenzengleichung zur Beschreibung von Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen eines dynamischen Systems wird ermöglicht, wenn die Differentiale der Differentialgleichung durch Rückwärts-Differenzenquotienten über die Abtastperiode ersetzt werden.[Einzelnachweise 5]

Die folgenden Ableitungen der Differentialquotienten in Differenzenquotienten der 1. 2. und 3. Ordnung sind gegeben:

Differenzenquotient 1. Ordnung:

Der Differenzenquotient 2. Ordnung entsteht aus Differenzen der Differenz:

Der Differenzenquotient 3. Ordnung lautet:

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten in die Differenzengleichung eines dynamischen Systems lassen sich die neuen Koeffizienten aus den Koeffizienten der Differentialgleichung berechnen.

Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines -Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:

Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen. TA = 0,01 s
Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich:
Sprungfunktion: u(t)=1

Gesucht: Differenzengleichung zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens.

Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation:

Die Differenzenquotienten für und werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt:

Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um freistellen zu können:

Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge mit :

.
.
.
.

Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem digitalen Rechner gelöst werden kann.

Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge und in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.

Anwendung zeitdiskreter Signale und dynamischer Systeme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die z-Transformation wird auf zeitdiskrete Signale , auf die systembeschreibenden Differenzengleichungen und auf Übertragungsfunktionen des s- und z-Bereiches meist mit Hilfe der Korrespondenztabellen angewendet.

Funktionsblöcke eines digitalen Reglers.

Das nebenstehende Bild ist ein Beispiel der Darstellung der Signalarten und Systeme an einem aufgeschnittenen digitalen Regelkreis mit einer kontinuierlichen Regelstrecke.

Abtastsysteme wandeln in Verbindung mit A/D-Wandlern ein kontinuierliches Signal in ein zeitdiskretes Signal als Wertefolge um. D/A-Wandler in Verbindung mit Haltesystemen nullter Ordnung wandeln eine Wertefolge in ein gestuftes zeitkontinuierliches Signal um.

z-Transformation einer Wertefolge (Impulsfolge)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Wertefolge besteht aus oder vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt. Die abgetasteten und digitalisierten Signale entsprechen einer Folge von modulierten impulsförmigen Signalen im Abstand , die erst nach der A/D-Wandlung mit einer Haltestufe zu einem gestuften quasi kontinuierlichem Signal werden.

Die Laplace-Transformation bezieht sich auf die Ableitungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ersetzt diese nach dem Laplace-Differentiationssatz durch die komplexe Variable . Ein Exponent von s kennzeichnet die Ordnung der Ableitung.

Die z-Transformation transformiert eine Impulsfolgefunktion oder eine Zahlenfolge in eine Funktion mit der z-Variable .

Da die Berechnungen mit Impulsfunktionen oder Folgen aufwendig sind, ist es sinnvoll, diese durch einfachere Berechnungen im z-Bildbereich auszuführen. Die z-Transformation von Impulsfolgen kann als diskrete Laplace-Transformation aufgefasst werden.[Einzelnachweise 6]

Die zu diskreten Zeitpunkten abgetasteten kontinuierlichen Eingangssignale entsprechen mit der Eingangsgröße modulierten (gewichteten) -Impulsfolgen, die mit der z-Transformation berechnet werden.

Beim Übergang von kontinuierlichen Systemen f(t) zu Abtastsystemen mit der Abtastfolge gehen lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen in zeitinvariante Differenzengleichungen der Abtastzeit TA beziehungsweise der Abtastfrequenz der Funktion über.

Ideale Abtastung eines kontinuierlichen Signals im Abstand durch eine Sample-and-Hold-Schaltung nullter Ordnung.

Kontinuierliche Signale z. B. die Regelabweichung eines Regelkreises mit einer analog arbeitenden Regelstrecke werden zu gleichen Zeitabständen abgetastet. Ein Abtaster mit A/D-Wandler erzeugt aus einem zeitkontinuierlichen Regler-Eingangssignal ein zeitdiskretes Signal . Es können sowohl abgetastete Regler-Eingangssignale als auch Differenzengleichungen , die im diskreten Zeitbereich den Regelalgorithmus eines Reglers beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung im -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(k).

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereiches stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Eine einzelne Abtastung eines kontinuierlichen Signals u(t) an einer beliebigen Stelle des Signalverlaufs z. B. zum Zeitpunkt wird als Modulation von u(t) mit einem Dirac-Impuls mit beschrieben.[Einzelnachweise 7][Einzelnachweise 8]

Damit ergibt sich für die Multiplikation des Eingangssignals u(t) mit dem Dirac-Impuls:

Wird nun periodisch mit zu den Zeitpunkten das Signal u(t) abgetastet, kann das abgetastete Signal als Multiplikation einer -Impulsfolge mit u(t) betrachtet werden.

Die Impulsfolgefunktion bezieht sich auf die Summengrenzen von zu

Mit dem Übergang der Summengrenzen von zu wird die Impulsfolgefunktion:

Die Impulsfolgefunktion wird der Laplace-Transformation unterzogen:

Mit der z-Variablen und wird die Gleichung vereinfacht zu der z-Transformierten des kontinuierlichen Signals .

Mit wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Damit lautet die z-Transformation eines abgetasteten kontinuierlichen Signals mit der Folge und der Wertefolge :

oder allgemein als Funktion :

Rechenregeln der z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie die Laplace-Transformation wird die z-Transformation durch Sätze und Rechenregeln definiert, dennoch bestehen in einigen Funktionen große Unterschiede.

Die Transformationen und Rücktransformationen der z-Transformation erfolgen meist mit Hilfe von Transformations-Tabellen. In der Fachliteratur werden in Tabellen die Zeitfunktionen f(t), die Laplace-Transformierten f(s) und die z-Transformierten f(z) dargestellt. Nicht vorhandene Zeitfunktionen für die inverse z-Transformation können wie bei der Laplace-Transformation durch die Partialbruchzerlegung bestimmt werden.

Die Verfahren der Anwendung der Rechenregeln der z-Transformationen sind umfangreich und können in diesem Abschnitt nur angedeutet werden. Die nachstehenden meist tabellarisch aufgeführten Verfahren sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik oder in Vorlesungsmanuskripten der z-Transformation zu finden.

  • Diese Rechenregeln beziehen sich auf Linearitätssätze, Multiplikationssatz, Divisionssatz, Ähnlichkeitssätze, Dämpfungssatz, Verschiebungssätze (rechts-links), Differenzensätze (Rückwärts-Vorwärts), Summationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze.
  • Die z-Transformationen und die z-Rücktransformationen können mit Hilfe von Transformations-Tabellen und verschiedenen noch dargestellten Verfahren durchgeführt werden.

Die nachfolgenden mathematischen Beziehungen gelten für Systeme mit einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal . Für einen digitalen Regler müssen die zugehörigen Größen des Eingangssignals und Ausgangssignals in die Gleichungen eingesetzt werden.

Vergleich der z-Transformation und der Laplace-Transformation.
Mit wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation:[Einzelnachweise 9]

  • Grundlagen der Definitionen im z-Bereich:
z-Variable:
z-Transformierte einer Folge :
Inverse z-Transformation von F(z):
  • Für Grenzbetrachtungen treten häufig folgende Fälle auf:
Für den s-Bildbereich gilt für die s-Variable.
Für den z-Bildbereich gilt für die z-Variable:
  • Anfangswert einer zeitdiskreten Folge:
  • Rückwärtsverschiebung (nach rechts):
Totzeiten innerhalb eines Digitalreglers entstehen durch die Signalabtastung über A/D-Wandler, D/A-Wandler und durch die Rechenzeit des Mikrocomputers. Die Berechnung einer Totzeit einer Abtastfolge entspricht einer Rückwärtsverschiebung (Rechtsverschiebung) der Abtastfolge (Zahlenwerte) um d Abtastschritte von . Diese mathematische Operation bedeutet im s-Bereich für die Totzeit und im z-Bereich:
  • Vorwärtsverschiebung (nach links):
Eine Vorhersage um die Zeit einer Wertefolge entspricht einer Vorwärtsverschiebung nach links um d-Abtastschritte. Diese Operation entspricht der Laplace-Transformierten und bedeutet im z-Bereich:
  • Differentiation:
Die Differenz zweier aufeinander folgender Abtastwerte dividiert durch die Abtastzeit entspricht der Annäherung an einen Differenzialquotienten im Zeitbereich.
  • Integration:
Wird die Summe aller Abtastwerte mit der Abtastzeit TA multipliziert, entsteht in Annäherung an den Zeitbereich die numerische Integration. Im s-Bereich entspricht die Integration 1 / s. Im z-Bereich gilt für die Integration:
  • Gewichtsfolge:
Die z-Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge g(k).
In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines linearen, zeitdiskreten dynamischen Systems enthalten.
  • Multiplikation:
Ausgangssignal als Funktion des Eingangssignals und der z-Übertragungsfunktion

Im Bildbereich steht die Multiplikation an Stelle der Faltungssumme, wie bei zeitkontinuierlichen Systemen an Stelle des Faltungsintegrals.

Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

[Einzelnachweise 10]

Funktion im
Zeitbereich f(t)
Laplace-Transformierte
im Bildbereich F(s)
Diskrete Laplace-Transformierte
nach der z-Transformation
δ-Impuls 1 1
Einheits-
sprung 1
t

TA = Abtastzeit, a oder b = Zahlenwert der Nullstelle (Pol) im s-Bereich, T1 = Zeitkonstante der s-Übertragungsfunktion.

Tabelle der Korrespondenzen der zeitdiskreten Funktionen zum z-Bereich (Auszüge)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Name der
Zeitfunktion
Wertefolge z-Transformierte
-Impulsfolge 1
Sprungfolge
Anstiegsfolge
Potenzfolge
e-Funktionsfolge
Sinusfunktionsfolge
Kosinusfunktionsfolge
Abklingende Sinus-
funktionsfolge
Abklingende Cosinus-
funktionsfolge
Linearitätssatz
Rechts-Verschiebesatz
Faltungssumme
Anfangswertsatz
Endwertsatz

Z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) von zeitdiskreten Elementen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Übersicht:

  • Die Differenzengleichungen können ausschließlich mit Hilfe des Linearitätssatzes und Verschiebungssatzes in den komplexen z-Bildbereich und in die z-Übertragungsfunktionen überführt werden.
Wendet man auf die einzelnen Terme der Differenzengleichung den Linearitäts- und den rechts-Verschiebungssatz an und bringt alle Terme mit auf die linke Seite und alle Terme mit auf die rechte Seite der Differenzengleichung, so lässt sich das Verhältnis mit den verbleibenden Elementen als gebrochen-rationale Funktion darstellen.
Die z-Übertragungsfunktion lautet:
  • Gegebene Übertragungsfunktionen des s-Bereiches in Verbindung mit Haltegliedern und Abtastelementen können ebenfalls mit Hilfe der Korrespondenztabellen als z-Übertragungsfunktion transformiert werden.
  • Die Rücktransformation von der z-Übertragungsfunktion in den zeitdiskreten Bereich als Differenzengleichung erfolgt durch den invers angewendeten Linearitätssatz und Verschiebungssatz für alle einzelnen Terme. Durch die kreuzweise Multiplikation von und mit den Polynomen im Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion entsteht wieder eine Differenzengleichung , wenn die einzelnen Terme der inversen Transformation unterzogen werden.

Mit der so errechneten Differenzengleichung des Übertragungssystems ist man nun in der Lage, für eine gegebene Eingangserregung des Systems die Ausgangsfolgen des Systems zu berechnen. Dies ist auf verschiedenen Arten möglich.

  • Analytische Berechnung mit Hilfe der Korrespondenztabellen der z-Transformation,
  • Rekursive Berechnung von Systemantworten der Differenzengleichungen mit Bezug auf zurückliegende Folgen k.

Entstehung der z-Übertragungsfunktion:

Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch eine rekursive Differenzengleichung beschrieben.

Wie bei zeitkontinuierlichen Systemen und der Übertragungsfunktion besteht eine vergleichbare Beziehung bei den zeitdiskreten Systemen zwischen der Gewichtsfolge und z-Übertragungsfunktion G(z). Die Übertragungsfunktion ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge .

Beziehung der Gewichtsfolge zur z-Übertragungsfunktion .

In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines dynamischen Systems enthalten. Zur Systemberechnung wird der Verlauf des Eingangssignals U(z) und das Systemverhalten G(z) oder g(k) benötigt.

Für die Ermittlung der z-Übertragungsfunktion ist die Gewichtsfunktion g(t) die Systemantwort (Impulsantwort) auf die Vorgabe eines Eingangs-DIRAC-Impulses (t).

Bei der Laplace-Transformation eines Systems lautet die Übertragungsfunktion:

Aus der Gewichtsfunktion wird die Impulsfolgefunktion oder die Gewichtsfolge g(kTA) gebildet und in den z-Bereich transformiert. Die z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Systemen ergibt sich mit folgender Vorschrift:

Die Berechnung der Impulsübertragung von linearen zeitdiskreten Systemen vereinfacht sich, wenn aus der Differenzengleichung mit der z-Transformation die z-Übertragungsfunktion bestimmt wird. So können z. B. die Regelalgorithmen eines digitalen Reglers mit Differenzengleichungen formuliert werden.[Einzelnachweise 11][Einzelnachweise 12]

Ist die z-Übertragungsfunktion eines Systems G(z) gegeben, lässt sich die zugehörige z-Differenzengleichung bestimmen:

  • durch Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner und und Gleichungsumstellung nach y(z),
  • Anwendung des rechts-Verschiebesatzes der z-Transformation zur Bestimmung der Ausgangsgröße .

Es wird eine lineare Differenzengleichung eines Regelalgorithmus gegeben:

Die Eingangssignale der Differenzengleichung sind wieder und die Ausgangssignale .

Unter der Voraussetzung, dass die Anfangswerte des zeitdiskreten Systems gleich Null sind, wird die Differenzengleichung transformiert. Mit den Rechenregeln des rechts-Verschiebungssatzes ergibt sich die Transformationsvorschrift:

,

Die z-transformierte Differenzengleichung ergibt sich zu:

Durch Ausklammern des Quotienten Y(z) / U(z) kann die Impulsübertragungsfunktion G(z) gebildet werden.

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion:

Bei der Berechnung von Differenzengleichungen mit dem Digitalrechner ist die von n-Schritten nach rechts verschobene Gleichung besser geeignet.

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion mit negativen Exponenten von z:

Beispiel: Für eine gegebenen Differenzengleichung 3. Ordnung lautet die z-Übertragungsfunktion für Ordnungen m = 2 und n = 3:

Mit der rechts-Verschiebung der zugehörigen Differenzengleichung um n = 3 Abtastschritte lautet die z-Übertragungsfunktion:

Es fällt auf, dass die z-Transformation einer Differenzengleichung eine große Ähnlichkeit mit der Polynomform einer s-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme hat. Ebenso fällt auf, dass die z-Übertragungsfunktion negative Potenzen hat. Allgemein werden z-Übertragungsfunktionen mit negativen Potenzen von z dargestellt.

Jede z-Übertragungsfunktion mit negativen Potenzen von z kann in eine Form mit positiven Potenzen von z gebracht werden, wenn Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion mit der höchsten vorkommenden inversen z-Potenz multipliziert werden. Für die z-Übertragungsfunktion der Form mit positiven Exponenten muss gelten: Nennerpolynom > Zählerpolynom. Ist diese Bedingung erfüllt, ist G(z) kausal.

Es können sowohl abgetastete Eingangssignale u(kTA) als auch Differenzengleichungen f(kTA), die im diskreten Zeitbereich das Verhalten eines Systems (z. B. den Regelalgorithmus eines Reglers) beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung im -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(kTA).

Die typische Anwendung der z-Transformation eines digitalen Systems, eines digitalen Reglers oder eines digitalen Filters, für den Regelalgorithmus lautet wie folgt:

  • Die Abtastfolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) wird transformiert als z-Übertragungsfunktion ,
  • Die Differenzengleichung des gewünschten Reglerverhaltens wird transformiert als z-Übertragungsfunktion ,
  • Die z-transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend der z-Rechenregeln zusammengefasst,
  • Mit der inversen z-Transformation des z-Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers (Mikro Computers) wieder als Differenzengleichung.

Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus.

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereich stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Z-Übertragungsfunktion einer Totzeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Totzeit Tt hat im Zeitbereich das Verhalten .

Im s-Bereich lautet die Übertragungsfunktion eines Totzeitsystems:

Es handelt sich hier bei der Verbindung einer s-Übertragungsfunktion als gebrochen-rationalen Funktion mit einem Totzeitglied um eine transzendente Funktion, die als Anhang einer Übertragungsfunktion – beispielsweise einer Regelstrecke – multiplikativ zugeordnet wird, mit der Einschränkung, dass keine algebraische Behandlung erlaubt ist.

Im z-Bereich entspricht eine Totzeit einer Rückwärtsverschiebung (Verschiebung nach rechts) der Abtastfolgen um d Abtastschritte. Die z-Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes in Verbindung mit weiteren z-Übertragungssystemen bleibt gebrochen-rational (Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom).

Für die z-Transformation der Abtastfolge für das Signal gilt:

Anders als bei der Laplace-Transformation bedeutet ein Totzeitglied in Verbindung mit einer z-Übertragungsfunktion keine Einschränkung der bestehenden Form der gebrochen-rationalen Funktion. Eine z-Übertragungsfunktion mit einer mit Abtastschritten definierten Totzeit wird durch hinzufügen von eines Terms berücksichtigt. Es können beliebige algebraische Operationen durchgeführt werden.

Beispiel einer z-Übertragungsfunktion mit Totzeit:

Z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Elementen G(s) mit Abtaster und Halteglied[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Signale: Allgemein gilt für den Zeitbereich , zeitdiskreten Bereich und Bildbereich , die Eingangsgröße und die Ausgangsgröße .

Abtastsysteme erlauben eine Umwandlung kontinuierlicher Signale in zeitdiskrete Abtastfolgen (Impulsfolgen). Halteglieder erlauben eine Umwandlung zeitdiskreter Ausgangsfolgen (Impulsfolgen) in kontinuierliche gestufte Signale im Zeitbereich. Ein Abtaster setzt ein kontinuierliches Signal in Verbindung mit einem nachgeschalteten A/D-Wandler in eine Zahlenfolge mit digitalen Werten um.

Ein Halteglied nullter Ordnung setzt eine Zahlenfolge mit einem vorgeschalteten D/A-Wandler in ein gestuftes kontinuierliches Signal um. Bei der Reihenschaltung von einem Abtastsystem (gewichteter δ-Abtaster) und einem Halteglied handelt es sich um die Umwandlung einer aus einem kontinuierlichen Eingangssignal modulierten Impulsfolge in eine gestufte Treppenfunktion , die in ein kontinuierliches dynamisches System eingeleitet werden kann.

Liegt ein kontinuierliches dynamisches System vor, erlaubt die Abtastung eines kontinuierlichen Signals, z. B. eine Regelabweichung, die Verarbeitung einer zeitdiskreten Eingangsfolge in einem Mikrocomputer als Regelalgorithmus zu einer zeitdiskreten Ausgangsfolge. Die über ein Halteglied geleitete Ausgangsfolge erzeugt ein quasi stetiges gestuftes Ausgangssignal zu einer analogen zeitabhängigen Stellgröße.

Je nach Anwendung des kontinuierlichen Systems , beispielsweise in der Regelungstechnik, werden unterschiedlich Funktionsblöcke zusammengefasst, die auch mehrere Abtaster und Halteglieder enthalten können.

Um ein kontinuierliches System in eine z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) zu definieren, muss es im Eingang durch eine Abtastfolge als Eingangsfolge und am Ausgang des Systems zeitsynchron durch einen Abtaster die Ausgangsfolge zur Verfügung stellen.

Berechnung der Varianten kontinuierlicher Systeme mit Abtaster und Halteglied.

Je nachdem wie die Reihenfolge der Funktionsblöcke eines Haltegliedes , eines Systems und eines Abtasters festgelegt sind, können diese Funktionsblöcke als ein Teil einer offenen Regelstrecke betrachtet werden. Die wären z. B.:

  • Ein Haltegliedsystem mit analogem Ausgang, ein dynamisches System und Abtastsystem für eine Ausgangsfolge,
  • Ein Abtastsystem einer analogen Regelabweichung, Mikroprozessor für den Regelalgorithmus des Systems und ein Haltegliedsystem für die Ausgabe eines kontinuierlichen Signals als Stellgröße für eine kontinuierliche Regelstrecke.

Das obere Grafikbild zeigt die Kombination der Funktionsblöcke Halteglied, kontinuierliches System und Abtaster.

Damit ein kontinuierliches System in eine (Impuls-)Übertragungsfunktion definiert werden kann, muss das System durch eine Impulsfolge (Wertefolge) gespeist und am Ausgang ein Abtaster eingesetzt sein, der synchron zur Eingangsfolge eine Ausgangsfolge realisiert. Das Halteglied vor dem dynamischen System wandelt die Impulsfolge in ein quasikontinuierliches Signal um. Das kontinuierliche System-Ausgangssignal wird über einen Abtaster als Ausgangsfolge definiert.

Die s-Übertragungsfunktion des Haltegliedes nullter Ordnung lautet: [Einzelnachweise 13]

Die z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) des Haltegliedes und der Regelstrecke wird durch die z-Transformation von berechnet.

Die z-Übertragungsfunktion von Halteglied und Regelstrecke lautet:

In diese Gleichung wird eingesetzt:

Eine Multiplikation mit entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzyklus und damit einer Multiplikation mit .

Die z-Übertragungsfunktion der Reihenschaltung eines Haltegliedes nullter Ordnung mit einem kontinuierlichen System ergibt sich aus der Laplace-Transformierten der Sprungantwort , multipliziert mit . (Siehe Tabelle ):

Analog wie bei der Regelstrecke kann für die im 2. Teil des Bildes dargestellte Anordnung der Funktionsblöcke Abtaster, Regelalgorithmus des Reglers und Halteglied die gleiche Form der Gleichung der z-Transformation benutzt werden. Ein- und Ausgangsgröße und die Systemgröße des Reglers werden getauscht:

Um die z-Transformation des kontinuierlichen Systems bilden zu können, werden die Korrespondenztabellen angewendet. Steht für die gegebene s-Übertragungsfunktion kein Eintrag für die z-Transformation zur Verfügung, muss eine Partialbruchzerlegung von vorgenommen werden.

Beispiel: z-Transformation eines -Gliedes.

Gesucht z-Übertragungsfunktion des kombinierten Systems:

Partialbruchzerlegung von

z-Transformation der Partialbrüche in den z-Bereich:

Durch Ausmultiplizieren der Brüche ergibt sich die z-Transformation:

Z-Übertragungsfunktionen der Standardregler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten hier allgemein die formalen Begriffe der Ein- und Ausgangsgrößen der Systemtheorie: Eingangssignal = , Ausgangssignal . Für die Belange der Regler gelten die Eingangs- und Ausgangsgrößen des Reglers zu einem Regelkreis lauten: und .

Die Regelalgorithmen mit den allgemeinen Koeffizienten lauten nach der rekursiven Rechenvorschrift: [Einzelnachweise 14]

Die z-Transformation der Differenzengleichung liefert die z-Übertragungsfunktion GR(z) des Reglers:

Tabelle der z-Übertragungsfunktionen der Standardregler (Typ II, Obersumme)

(ai = Koeffizienten des Nennerpolynoms, bi = Koeffizienten der Zählerpolynoms, TI = TN = 1 / KI = Zeitkonstante = Nachstellzeit, TV = Vorhaltezeit, TA = Abtastzeit)

Reglerart z-Übertragungsfunktion GR(z) der Standardregler
P-Regler
I-Regler

PD-Regler

PI-Regler

PID-Regler

Umwandlung einer z-Übertragungsfunktion in eine Differenzengleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine gegebene z-Übertragungsfunktion lässt sich in eine Differenzengleichung umwandeln. Dazu sind folgende Schritte erforderlich.[Einzelnachweise 15]

Die Übertragungsfunktion wurde durch den Koeffizienten dividiert, um freistellen zu können.

Diese Form der Übertragungsfunktion wurde entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

  • Die Systemausgangsgröße Y(z) und die Systemeingangsgröße U(z) werden kreuzweise mit den Polynomen der z-Übertragungsfunktion multipliziert:
  • Die Zähler- und Nennerpolynome werden durch die höchste Potenz von z dividiert:
  • Mit der Anwendung des Rechtsverschiebungssatzes der z-Transformation entsteht die Differenzengleichung:
  • Die Differenzengleichung wird nach y(k) aufgelöst. Damit entsteht eine Rekursionsgleichung zur Berechnung der Ausgangsgröße des Systems für beliebige Eingangssignale .

Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich f(kTA)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Programmierung des Mikrocomputers des Digitalreglers werden Differenzengleichungen benötigt, die durch Überführung der z-Übertragungsfunktion des z-Bildbereiches in den diskreten Zeitbereich f(k) gewonnen wird.

Die inverse z-Transformation liefert für F(z) wieder die Werte der Zahlenfolge:

für .[Einzelnachweise 16]

Dazu sind drei Verfahren gegeben:

Durch die Polynomdivision wird die z-Transformierte F(z) in eine konvergierende Potenzreihe nach entwickelt. Dividiert man das Zählerpolynom von F(z) durch das Nennerpolynom nach den Regeln der Polynomdivision, so ergibt sich die gewünschte Potenzreihe. Die Vorfaktoren der Potenzen von z sind die gesuchten Werte der Zahlenfolge .
  • Partialbruchzerlegung
Die Rücktransformation von F(z) erfolgt durch die Partialbruchzerlegung mit Hilfe der zugehörigen Korrespondenztabelle. Die Partialbrüche sollen die Form haben. Die inverse z-Transformation ergibt als Summe der rücktransformierten Partialbrüche.
Die inverse z-Transformation ist über das komplexe Umlaufintegral bestimmt. Die Lösung des Integrals lässt sich auf die Bestimmung der Residuen zurückführen.

Berechnungsbeispiele zur z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1: z-Transformierte der Sprungfunktion der Eingangsgröße :

Die z-Transformierte der normierten Sprungfunktion für ist zu ermitteln.

Lösung:

Die kontinuierliche Eingangsgröße wird als Sprungfunktion (Einheitssprung) zum Zeitpunkt mit dem Wert 1 abgetastet.

Durch Abtastung entsteht eine Wertefolge mit konstanten Amplituden = 1.

oder die Impulsfolgefunktion:

Die z-Transformation lautet damit:

Der Grenzwert für für und (Konvergenz) ist Null.
Die z-Transformierte der Einheitssprungfunktion ist damit:

Beispiel 2: z-Transformierte des Produktes einer Exponentialfunktion f(t) mit dem Einheitssprung u(t)=1:

Gegeben: Exponentialfunktion

Einheitssprung = 1 für t>0.

Gesucht: Ergebnis der beiden Beziehungen als Produkt im z-Bereich:

Die Ausgangswertefolge lautet:

Daraus ergibt sich die z-Transformierte:

Substituiert man

,

so lautet die z-Transformierte

Beispiel 3: Ermittlung der z-Übertragungsfunktion aus einem Verzögerungsglied 1. Ordnung

Gegeben: Übertragungsfunktion G(s) des PT1-Gliedes mit der Verstärkung K und der Zeitkonstante T1:

Polstelle des Nennerpolynoms.
Anmerkung: Die Zeitkonstantendarstellung der Übertragungsfunktion ist der Pol- Nullstellendarstellung mathematisch identisch.

Gesucht: z-Übertragungsfunktion aus .

Dazu wird zuerst die Gewichtsfunktion g(t) des PT1-Gliedes ermittelt.

Aus einer Laplace-Korrespondenztabelle findet man für das Zeitverhalten der Übertragungsfunktion
für die Gewichtsfunktion (Impulsantwort):

.

Die Verstärkung K wurde für den Transfer in den Zeitbereich nicht berücksichtigt und wird wieder eingesetzt.

Für die Eingangsimpulsfolge wird die z-Transformation angewendet.

Aus einer in Fachbüchern der Regelungstechnik dargestellten Korrespondenztabelle wird für als Gewichtsfunktion (Impulsantwort)
die zugehörige F(z)-Funktion entnommen. Der Faktor hat keine Auswirkungen auf die Transformation und wird später berücksichtigt:

Daraus ergibt sich unter Berücksichtigung des Faktors die gesuchte z-Übertragungsfunktion, die gerne vereinfacht dargestellt wird:

Beispiel 4: z-Übertragungsfunktion einer Differenzengleichung für den Integralalgorithmus:

Definition der Signale:
Analoge Regeldifferenz = , Abgetastete Regeldifferenz = ,
Reglerausgangsgröße = , Zeitkonstante .

Gegeben: Differenzengleichung:

(Differenzengleichung nach Euler-Vorwärts, wegen ) entsteht "Untersumme".

Gesucht: z-Übertragungsfunktion.

Nach der Transformationsvorschrift ändern sich die Größen:

Daraus folgt für die z-Transformation:

Wird U(z) / E(z) ausgeklammert, entsteht die z-Übertragungsfunktion des Integralalgorithmus:

Für die gleiche Differenzengleichung des Integrationsalgorithmus nach Euler-Rückwärts (Obersumme):

lautet die z-Übertragungsfunktion mit :

Aus der Übertragungsfunktion GR(z) wird die Stellgröße des Reglers U(z) abgeleitet mit der Regelabweichung E(z) = W(z) - Y(z):

Anwendung der z-Übertragungsfunktion für einen digitalen PI-Regler mit Abtastfunktion und Halteglied[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das nachfolgende Berechnungsbeispiel zeigt die über die z-Transformation ermittelte Differenzengleichung eines digitalen PI-Reglers im Vergleich mit den Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts.

Digitale Regler in industriellen Erzeugnissen werden gegenüber analogen Reglern zunehmend in großen Stückzahlen produziert. Dafür sind verschiedene Gründe gegeben:

  • Die Integrationsrate der Mikrorechner hat soweit zugenommen, dass die Schnittstellen wie AD- und DA-Wandler wie auch Haltefunktionen Bestandteil eines einzigen hochintegrierten Bausteins sind.
  • Kostengünstige Produktion der Hardware und deren Prüfung,
  • Jederzeit - vor Anlagen-Auslieferung - können per Software Parameteränderungen oder Regler-Struktur-Änderungen geändert werden.

Mit der Anwendung der z-Transformation auf abgetastete Signale und des gewünschten Regelalgorithmus entsteht die z-Übertragungsfunktion.

Die Hauptaufgabe der Realisierung eines digitalen Reglers ist die Aufstellung der z-Übertragungsfunktion des Reglers bzw. das Finden der zur Programmierung des Mikrocomputers benötigten Rekursionsgleichung. Das nachstehende Berechnungsbeispiel aus einem Fachbuch zeigt einen digitalen PI-Regler, der durch eine Reihenschaltung von Halteglied, Reglerfunktion GR(s) und Abtaster approximiert wird.

Die gesuchte z-Übertragungsfunktion des digitalen Reglers D(z) besteht aus dem Produkt von Halteglied und Reglerfunktion GR(s):

Berechnungsbeispiel eines PI-Reglers als Reihenschaltung von idealem Abtaster, PI-Regleralgorithmus und Halteglied.[Einzelnachweise 17]

Gegeben: s-Übertragungsfunktion eines PI-Reglers GR:

Parameter des PI-Reglers mit folgenden Zahlenwerten:

Verstärkung: ; Zeitkonstante: ; Abtastzeit: ;

Gesucht: z-Übertragungsfunktion und daraus die Differenzengleichung mit dem Regelalgorithmus des PI-Reglers:

Nach Anwendung der oben stehenden abgeleiteten Gleichung mit Eintrag der PI-Komponenten für müssen die Komponenten des s-Bereichs in den z-Bereich transformiert werden:

Die Terme des s-Bereichs werden z-transformiert:

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion des Reglers mit Zahlenwerten:

Diese z-Übertragungsfunktion wird in Operatorendarstellung nach U(z) geordnet und als Differenzengleichung im Mikroprozessor programmiert.

Durch Anwendung der Rechtsverschiebung um einen Abtastschritt "-1" ergibt sich für Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich die Differenzengleichung .

Diese Gleichung nach aufgelöst ergibt:

In vereinfachter Schreibweise lautet die Differenzengleichung eines PI-Reglers für ein abgetastetes Regelsystem mit Halteglied bei TA = 0,1 [s]:

Zum Vergleich die errechnete Differenzengleichung für TA = 0,01 [s] zur besseren Annäherung an die analytische Funktion:

Sprungantwort eines digitalen PI-Reglers mit A/D-Wandler und Abtast-Halteglied am Reglerausgang.
Tabelle zur grafischen Darstellung der Sprungantwort des PI-Reglers mit TA = 0,1 [s] und e(k) = 1,
im Vergleich mit einer direkten Anwendung von Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts.
Folge k Zeit TA
[sec]
Differenzengleichung aus z-Transformation
Ausgangssignal
Differenzengleichung
Euler-Rückwärts
Untersumme
Differenzengleichung
Euler-Rückwärts
Obersumme
0 0 2,0000 2,1333
1 0,1 2,1333 2,2667
2 0,2 2,2667 2,4000
3 0,3 2,4000 2,5333
4 0,4 2,5333 2,6667
5 0,5 2,6667 2,8000
6 0,6 2,8000 2,9333
10 1,0 3,3330 3,3330 3,4667
15 1,5 3,9995 4,0000 4,1333

Qualitativer Vergleich zwischen PI-Reglern mit Differenzengleichungen über die z-Transformation und Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts

  • Schnittstelle des Rechenbeispiels:
Das Fachbuch-Rechenbeispiel der Bestimmung der Differenzengleichung eines PI-Reglers über die z-Transformation ist offensichtlich als Untersumme definiert. Dieses Beispiel setzt ideale Schnittstellen mit einem Halteglied nullter Ordnung (entspricht einem Zeitschritt TA) und einen idealen Mikrorechner voraus.
  • Differenzengleichungen als Funktion der Ober- und Untersumme:
Die Grafik zeigt den Unterschied der Stellgröße für die Berechnungsmethoden der Differenzengleichungen nach der Ober- und Untersumme.
Die grafische Darstellung der Sprungantwort des PI-Reglers laut der Tabellen-Berechnungspunkte entsprechen einer Rechteckfunktion, weil am Reglerausgang für die Wertefolge ein Halteglied für den Zeitraum TA wirkt, das nach jedem Rechenschritt gelöscht wird. Die errechneten Daten der Differenzengleichung über die z-Transformation und die Daten nach den Differenzengleichungen Euler-Rückwärts-Untersumme sind identisch.
Sowohl die errechneten Ausgangsgrößen des Reglers der Differenzengleichung als Wertefolgen über die z-Übertragungsfunktion wie auch die errechneten Wertefolgen der Ausgangsgrößen nach den Differenzengleichungen der Methode Euler-Rückwärts (Untersumme und Obersumme) entsprechen nur dann der analytischen Funktion der Sprungantwort des PI-Reglers, wenn die Abtastzeit gegen Null geht.
  • Verwendung der Differenzengleichungen der Standardregler ohne z-Transformation möglich:
Der Vergleich der Rechenergebnisse führt zu der Auffassung, dass für die Bestimmung der Differenzengleichungen der Standardregler die im Abschnitt Tabelle der Differenzengleichungen der Standardregler (Euler Rückwärts) aufgeführten Differenzengleichungen unmittelbar ohne z-Transformation verwendet werden können.
Aus der Übertragungsfunktion des s-Bereiches wird deutlich, dass der PI-Regler in der Reihenstruktur aus einem I-Glied und einem PD1-Glied besteht.
Übertragungsfunktion des PI-Reglers in der Parallelstruktur:
Wird der Klammerausdruck der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, entsteht die Produktdarstellung in der Reihenstruktur:
KPI = KP / TN ist die Verstärkung des PI-Reglers.
Für die Berechnung des PI-Reglers werden zwei Differenzengleichungen 1. Ordnung benötigt. Dabei ist wegen der empfohlenen Reihenschaltung die Ausgangsgröße des I-Gliedes die Eingangsgröße des PD1-Gliedes. Die Ausgangsgröße des PD-Gliedes im zeitdiskreten Bereich ist das Folgeglied zum Zeitpunkt . Die Eingangsgröße des PI-Reglers ist die normierte zeitdiskrete Sprungfunktion .
Die Differenzengleichung eines PI-Reglers nach der Untersumme als Reihenschaltung von I-Glied und PD1-Glied lautet:

Anmerkung zum PD-Glied: bedeutet wegen Untersumme: aktuelles des I-Gliedes um einen Schritt (k-1) zurückgesetzt.

  • Genauigkeit der Approximation des Regelalgorithmus des PI-Reglers:
Die Güte der Approximation ist durch das Verhältnis der Abtastzeit zur dominanten Zeitkonstante des Reglers und der Regelstrecke bestimmt. Soll ein PD-Glied des PI-Reglers ein PT1-Glied der Regelstrecke kompensieren, sollte dieses Verhältnis 0,1 bis 0,01 betragen.
Welche Genauigkeit des Regelvorgangs erreicht werden muss, hängt von der Vorgabe des Lastenheftes und von der Art der Regelstrecke ab.
  • Reale Schnittstellen und reale Mikrorechner berücksichtigen:
Bei schnellen Regelstrecken können die realen Schnittstellen des Reglers durch die signaltechnischen Verzögerungen als Ersatztotzeit berücksichtigt werden. Im Gegensatz zur Laplace-Transformation kann eine z-transformierte Übertragungsfunktion mit einer Totzeit im Rahmen der Rechenregeln der z-Transformation durch Rückwärtsverschiebung „Verschiebung nach rechts“ um Abtastschritte als komplette z-Übertragungsfunktion berechnet werden.

Einsatz von z-Transformation zur Bestimmung expliziter Formeln von Rekursionsvorschriften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die z-Transformation kann zur Bestimmung expliziter Formeln für Zahlenfolgen eingesetzt werden, die rekursiv definiert sind. Ein Paradebeispiel hierfür ist die Fibonacci-Zahlenfolge

Die Zahlenfolge ist rekursiv definiert und zwar mit der Rekursionsvorschrift

und dem Rekursionsanfang

Die rekursive Definition ist einfach, hat jedoch zum Nachteil, dass sie es nicht erlaubt, das k-te Element der Zahlenfolge direkt zu bestimmen, ohne seine Vorgänger zu berechnen, was bei größer werdendem immer zeitintensiver wird. Man fragt sich also, ob nicht auch eine explizite Formel existiert, die eine direkte Bestimmung eines jeden Elements der Zahlenfolge erlaubt. Für Fibonacci-Zahlen existiert eine solche explizite Formel und sie lautet

.

Auf den ersten Blick scheint es unmöglich zu sein, dass diese Formel mit Termen überhaupt ganze Zahlen erzeugt, doch durch Einsetzen von kann sich jeder selbst davon überzeugen, dass die Formel in der Tat die entsprechenden Fibonacci-Zahlen liefert.

Doch wie kommt man nur auf eine solche Formel? Dazu gibt es verschiedenen Methoden und die z-Transformation ist eine davon. Im Folgenden wird eine Methodik gezeigt, wie man mit Hilfe von z-Transformation die explizite Formel einer rekursiven Berechnungsvorschrift bestimmen kann. Die allgemeinen Ausführungen werden am Beispiel der Fibonacci-Zahlen angewendet und verständlich gemacht.

Allgemeine Form der Rekursionsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzengleichung und Rekursion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Rekursionsformel vom Typ

kann als Beschreibung eines abgetasteten dynamischen Systems ohne Eingangssignal interpretiert werden, denn die weiter oben beschriebene Differenzengleichung

.

geht direkt in die Rekursionsformel über, wenn man das E