Zahlentheoretische Funktion

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Eine zahlentheoretische oder arithmetische Funktion ist eine Funktion, die jeder positiven natürlichen Zahl eine komplexe Zahl zuordnet. Diese Funktionen dienen in der Zahlentheorie dazu, Eigenschaften von natürlichen Zahlen, besonders deren Teilbarkeit, zu beschreiben und zu untersuchen.

Spezielle zahlentheoretische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtige arithmetische Funktionen sind

  • die identische Funktion und ihre Potenzen
  • die Dirichlet-Charaktere
  • die Teileranzahlfunktion die angibt, wie viele Teiler die Zahl besitzt,
  • die Teilerfunktionen
die die Summe aller Teiler bzw. der -ten Potenzen aller Teiler einer Zahl angeben,

Multiplikative Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zahlentheoretische Funktion heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen und stets gilt und nicht verschwindet, was äquivalent zu ist. Sie heißt vollständig multiplikativ, auch strikt oder streng multiplikativ, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt. Jede vollständig multiplikative Funktion ist also multiplikativ. Eine multiplikative Funktion lässt sich darstellen als

d. h. eine multiplikative Funktion ist vollständig durch die Werte bestimmt, die sie für Primzahlpotenzen annimmt.

  • Von den oben als Beispiele angeführten Funktionen sind die Identität und ihre Potenzen sowie die Dirichlet-Charaktere vollständig multiplikativ, die Teileranzahlfunktion, die Teilerfunktionen und die Eulersche φ-Funktion multiplikativ. Die Primzahlfunktion und die Exponentenbewertung sind nicht multiplikativ.
  • Das (punktweise) Produkt von zwei (vollständig) multiplikativen Funktionen ist wieder (vollständig) multiplikativ.

Additive Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn für teilerfremde Zahlen und stets gilt. Sie heißt vollständig additiv, auch strikt oder streng additiv, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt.

Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die -adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion, die nirgends verschwindet, lässt sich eine additive Funktion konstruieren, indem man das Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn (vollständig) multiplikativ und stets ist, dann ist eine (vollständig) additive Funktion. Gelegentlich wird auch ein (komplexer) Logarithmus einer nirgends verschwindenden zahlentheoretische Funktion (ohne Betrag) gebildet. Dabei ist jedoch wegen der verschiedenen Zweige des komplexen Logarithmus Vorsicht geboten.

Faltung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen wird nach Dirichlet auch als Dirichlet-Faltung bezeichnet. Zu anderen Bedeutungen des Wortes in der Mathematik siehe den Artikel Faltung (Mathematik).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirichlet-Faltung zweier zahlentheoretischer Funktionen ist definiert durch

wobei sich die Summe über alle (echten und unechten, positiven) Teiler von erstreckt.

Die summatorische Funktion einer zahlentheoretischen Funktion ist definiert durch , wobei die konstante Funktion mit dem Funktionswert  bezeichnet, also

Man kann zeigen, dass bzgl. der Faltungsoperation invertierbar ist; ihr Inverses ist die (multiplikative) Möbiusfunktion . Das führt zur Möbiusschen Umkehrformel, mit der man eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zurückgewinnen kann.

Eigenschaften der Faltung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Faltung von zwei multiplikativen Funktionen ist multiplikativ.
  • Die Faltung von zwei vollständig multiplikativen Funktionen muss nicht vollständig multiplikativ sein.
  • Jede zahlentheoretische Funktion , die an der Stelle  nicht verschwindet, besitzt eine Inverse bezüglich der Faltungsoperation.
  • Diese Faltungsinverse ist genau dann multiplikativ, wenn multiplikativ ist.
  • Die Faltungsinverse einer vollständig multiplikativen Funktion ist multiplikativ, aber im Allgemeinen nicht vollständig multiplikativ.
  • Das neutrale Element der Faltungsoperation ist die durch und für alle definierte Funktion

Algebraische Struktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge der zahlentheoretischen Funktionen bildet mit der komponentenweisen Addition, der skalaren Multiplikation und der Faltung als innerer Multiplikation
  • Die multiplikative Gruppe dieses Ringes besteht aus den zahlentheoretischen Funktionen, die an der Stelle  nicht verschwinden.
  • Die Menge der multiplikativen Funktionen ist eine echte Untergruppe dieser Gruppe.

Abgrenzung vom Raum der komplexen Zahlenfolgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der komplexen Skalarmultiplikation, der komponentenweisen Addition und – anstelle der Faltung – der komponentenweisen Multiplikation bildet die Menge der zahlentheoretischen Funktionen ebenfalls eine kommutative C-Algebra, die Algebra der formalen (nicht notwendig konvergenten) komplexen Zahlenfolgen. Diese kanonische Struktur als Abbildungsraum ist in der Zahlentheorie jedoch kaum von Interesse.

Als komplexer Vektorraum (also ohne innere Multiplikation) ist dieser Folgenraum mit dem Raum der zahlentheoretischen Funktionen identisch.

Zusammenhang mit Dirichletreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder zahlentheoretischen Funktion kann eine formale Dirichletreihe zugeordnet werden. Die Faltung wird dann zur Multiplikation von Reihen. Diese Konstruktion wird im Artikel über Dirichletreihen näher beschrieben.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]