Zentrales Schwankungsintervall

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Das zentrale Schwankungsintervall ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik. Er sagt etwas über die Präzision der Lageschätzung eines Parameters (zum Beispiel eines Mittelwertes) aus. Das Schwankungsintervall schließt einen Bereich um den wahren Wert des Parameters in der Grundgesamtheit ein, der – vereinfacht gesprochen – mit einer zuvor festgelegten Sicherheitswahrscheinlichkeit den aus der Stichprobe geschätzten Parameter enthält.

Idee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable für einen unbekannten wahren Parameter einer Grundgesamtheit. Daher besitzt sie eine Verteilung, und wir können mit der Wahrscheinlichkeit Intervalle bezüglich Realisation angeben.

Das heißt, ziehen wir eine Stichprobe mit den Werten , dann können wir einen Schätzwert berechnen und mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit ein Intervall angeben, in dem wir den Schätzwert erwarten.

Die zentralen Schwankungsintervalle haben einen Nachteil: Die Intervallgrenzen enthalten den unbekannten Parameter (im Gegensatz zum Konfidenzintervall). Trotzdem liefert das zentrale Schwankungsintervall eine wertvolle Information, nämlich die Größe der Abweichung eines aus der Stichprobe geschätzten Parameters vom wahren Parameter.

Parameter Bedingung Zentrales Schwankungsintervall
, bekannt
, unbekannt
beliebig verteilt, ( bekannt)

( unbekannt)

, bekannt
, unbekannt
Bernoulli verteilt mit Parameter bzw.

Dabei sind

  • die Sicherheitswahrscheinlichkeit,
  • , und die -Quantile der Standardnormal-, t- und Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden,
  • die korrigierte Stichprobenvarianz sowie
  • der geschätzte Anteilswert aus der Stichprobe.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das zentrale Schwankungsintervall für eine Schätzfunktion ist das Intervall für das gilt bzw. , also

.

Das zentrale Schwankungsintervall kann, muss aber nicht, symmetrisch um den unbekannten Parameter liegen. Die Werte bzw. hängen ab

  • von dem Verteilungstyp der Schätzfunktion (siehe , ) und
  • der Varianz der Schätzfunktion :
.

Spezielle zentrale Schwankungsintervalle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Mittelwert der Grundgesamtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit wird die Schätzfunktion genommen. Es ergeben sich für die Verteilung von zwei Fälle:

  1. , dann gilt (Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung) oder
  2. (beliebig verteilt) und die Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes erfüllt, dann gilt .

Daraus ergeben sich drei Schwankungsintervalle:

1a. bekannt, dann gilt und
1b. unbekannt, dann gilt und
2. Es gilt und
.

Die Werte bzw. sind die -Quantile der Standardnormalverteilung bzw. der Studentsche t-Verteilung mit Freiheitsgraden.

Für die Varianz der Grundgesamtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die Stichprobenvariablen verteilt sind, dann gibt es für die Varianz zwei verschiedene mögliche Schätzfunktionen:

  1. Wenn bekannt ist, dann ergibt sich .
  2. Wenn unbekannt ist, dann ergibt sich .

Im ersten Fall ist verteilt, und das zentrale Schwankungsintervall ist

und im zweiten Fall ist verteilt, und das zentrale Schwankungsintervall ergibt sich zu

.

Die Werte sind die -Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden.

In beiden Fällen liegt das zentrale Schwankungsintervall nicht symmetrisch um .

Für den Anteilswert der Grundgesamtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine dichotome Zufallsvariable Anzahl der Erfolge bei Ziehungen mit Zurücklegen ist binomial verteilt in Abhängigkeit von der unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit . Bei der Erfüllung der Approximationsbedingungen ist normal verteilt und auch die Schätzfunktion . Das zentrale Schwankungsintervall ergibt sich daher zu

.

Für die praktischen Berechnungen kann man entweder mit abschätzen. Alternativ kann man mit ersetzen, und ist der Anteilswert aus der Stichprobe.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1: Wenn wir die mittlere Studiendauer in Semestern von Studenten auf genau schätzen wollen mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit , dann bedeutet dies, dass das zentrale Schwankungsintervall vom wahren Wert um nicht mehr als Semester abweichen darf. Die Länge des zentralen Schwankungsintervalls muss also Semester sein.

Für die mittlere Studiendauer ist nicht bekannt, ob sie normalverteilt ist, d. h. es folgt

,

d. h. in Abhängigkeit von () lässt sich ein Stichprobenumfang bestimmen, um diese Genauigkeit zu erreichen:

.

Mit Semester müssen also 1537 Studenten befragt werden, ist Semester, dann wären es bereits 6147 Studenten nötig. In diesem Beispiel ist nur die Lage, nicht aber die Breite des zentralen Schwankungsintervalls vom wahren Parameter abhängig.

Beispiel 2: In Wahlumfragen werden üblicherweise ca. 1000 Wahlberechtigte befragt. Mit welcher Genauigkeit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von kann ein Wahlforscher das Ergebnis einer Partei vorhersagen?

Die Länge des zentralen Schwankungsintervalls ist

,

und mit , ergibt sich eine Länge von . D. h. mit 95 % Wahrscheinlichkeit wird der Anteilswert aus der Stichprobe um maximal vom wahren Anteilswert abweichen. Bei einem wahren Anteilswert von ergibt sich das zentrale Schwankungsintervall also zu ; diese große Ungenauigkeit ist einer der Gründe, warum in der Presse/Meinungsforschungsinstituten selten die Genauigkeit von Prognosen mit angegeben wird.

Zentrales Schwankungsintervall und Konfidenzintervall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konfidenzintervalle werden direkt aus den zentralen Schwankungsintervallen abgeleitet:

  • Subtraktion von

  • Subtraktion von

  • Multiplikation von

Und damit ergibt sich das Konfidenzintervall.

Unterschiede[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Tabelle summiert einige Unterschiede zwischen dem zentralen Schwankungsintervall und dem Konfidenzintervall.

Zentrales Schwankungsintervall Konfidenzintervall
Grenzen Sind für jede Stichprobe gleich, also feste Werte Ändern sich bei jeder Stichprobe, sind also Zufallsvariablen
Lage Schließt den unbekannten Parameter der Grundgesamtheit ein Schließt den geschätzten Parameter der Stichprobe ein
Interpretation Gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der aus der Stichprobe geschätzte Parameter im Intervall enthalten ist Gibt an, welcher Anteil der Schätzintervalle den wahren Parameter enthalten