Zentrierte Dreieckszahl

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19 Kugeln in Form ineinandergeschachtelter Dreiecke

Eine zentrierte Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

aus einer natürlichen Zahl berechnen lässt. Die ersten zentrierten Dreieckszahlen sind

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, … (Folge A005448 in OEIS)

Die zentrierten Dreieckszahlen gehören wie die zentrierten Quadratzahlen sowie die zentrierten Fünf- und Sechseckszahlen zu den zentrierten Polygonalzahlen, also zu den ebenen figurierten Zahlen.

Die zentrierten Dreieckszahlen beziffern nämlich die Anzahl von Steinchen, um ein Dreieck nach folgender Vorschrift zu legen: Es befindet sich ein Steinchen im Zentrum und um dieses werden in dreiecksförmigen Schichten mit steigender Seitenlänge weitere Steinchen angeordnet. Die Anzahl der Steinchen in einer solchen Anordnung mit Schichten wird als -te zentrierte Dreieckszahl bezeichnet.

Für lässt sich jede zentrierte Dreieckszahl als die Summe dreier aufeinanderfolgender normaler Dreieckszahlen darstellen. Des Weiteren gilt, dass eine Ganzzahldivision einer beliebigen Dreieckszahl durch 3 immer den Rest 1 ergibt und als Quotient die vorhergehende Dreieckszahl .

Die Summe der ersten Dreieckszahlen () ergibt die magische Konstante (Zeilensumme) eines magischen Quadrates der Zahlen 1 bis .

Zentrierte Dreiecksprimzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zentrierte Dreieckszahl, die eine Primzahl ist, wird als zentrierte Dreiecksprimzahl bezeichnet. Die ersten zentrierten Dreiecksprimzahlen lauten:

19, 31, 109, 199, 409, ... (Folge A125602 in OEIS)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]