Zentrum (Algebra)

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet das Zentrum einer Algebra oder einer Gruppe diejenige Teilmenge der betrachteten Struktur, die aus all den Elementen besteht, die mit allen Elementen bzgl. der Multiplikation kommutieren.

Zentrum einer Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Gruppe, so ist deren Zentrum die Menge

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zentrum von ist eine Untergruppe, denn sind und aus , dann gilt für jedes

also liegt auch im Zentrum. Analog zeigt man, dass im Zentrum liegt:

.

Das neutrale Element der Gruppe liegt stets im Zentrum: .

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von , es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von , bleibt also fest unter jedem Automorphismus. Das Zentrum ist sogar streng charakteristisch, bleibt also auch fest unter jedem Epimorphismus. ist genau dann abelsch, wenn .

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen von , für die die Konjugation mit , also , die identische Abbildung ist. Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des Zentralisators definieren. Es gilt .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Zentrum der symmetrischen Gruppe vom Grad 3 besteht nur aus dem neutralen Element , denn:
  • Die Diedergruppe besteht aus den Bewegungen der Ebene, die ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0°, 90°, 180° und 270°, sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0° und um 180°.
  • Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit Einträgen in den reellen Zahlen besteht aus den reellen Vielfachen der Einheitsmatrix.

Zentrum eines Rings[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zentrum eines Rings R besteht aus denjenigen Elementen des Rings, die mit allen anderen kommutieren:

Das Zentrum ist ein kommutativer Unterring von R. Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum überein, wenn er kommutativ ist.

Zentrum einer assoziativen Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zentrum einer assoziativen Algebra A ist die kommutative Unteralgebra

Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie kommutativ ist.

Zentrum einer Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zentrum einer Lie-Algebra ist das (abelsche) Ideal

,

wobei die Lie-Klammer also die Multiplikation in bezeichnet. Eine Lie-Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.
  • Für eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]