Zwölfeck

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Ein regelmäßiges Zwölfeck

Das Zwölfeck oder Dodekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch zwölf Eckpunkte und deren zwölf Verbindungen namens Seiten oder Kanten.

Variationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zwölfeck ist darstellbar als:

  • konkaves Zwölfeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Zwölfeck kann höchstens sechs solche Winkel haben.
  • konvexes Zwölfeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Zwölfeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • regelmäßiges Zwölfeck, es ist bestimmt durch zwölf Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Seiten oder Kanten genannt, verbunden.

Regelmäßiges Zwölfeck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einem regelmäßigen Zwölfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis

Berechnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Zwölfecks hat 150°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 1800°.
  • Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Zwölfecks mit der Seitenlänge ist gegeben durch:
  • Die Fläche kann auch mit als dem Radius des Umkreises[1] berechnet werden

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein regelmäßiges Zwölfeck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar:

Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebenem Umkreis Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebener Seitenlänge, Animation (Die Konstruktion ist sehr ähnlich der vom Achteck bei gegebener Seitenlänge.)
Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebenem Umkreis
Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebener Seitenlänge, Animation (Die Konstruktion ist sehr ähnlich der vom Achteck bei gegebener Seitenlänge.)

Parkettierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Zwölfecken sind eine Vielzahl von Parkettierungen möglich:

Ein Beispiel für eine kommerziell genutzte Parkettierung ist das Eternity-Puzzle, ein Legespiel, bei dem 209 unregelmäßige Polygonspielsteine zu einem Zwölfeck gelegt werden sollen.

Zwölfeck in der Numismatik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Threepence von 1942, Rückseite

Es gibt eine Vielzahl zwölfeckiger Münzen, z. B. das britische Threepence von 1942, die ehemalige 3–Pence–Münze aus Nigeria und die australische 50-cent-Münze, die 50-¢(= Seniti)-Münze von Tonga, sowie spezielle Sammlermünzen wie z. B. die spanische 300–Euro–Münze.

Zwölfeck in der Architektur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vera Cruz Kirche in Segovia

Beispiele für zwölfeckige Gebäude sind:

Deutschland:

Weitere:

Zwölfeck in der Chemie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Molekülmodell von Cyclododecan
Molekülmodell von Phenalen

Das Molekülmodell von Cyclododecan ist nur in der Draufsicht zwölfeckig. Aus der dreidimensionalen Gestalt dieses Moleküls ergibt sich, dass die Kohlenstoffatome nicht alle in einer Ebene liegen. Außerdem befindet sich das Molekül bei höherer Temperatur in ständiger Bewegung (Pseudorotation, d. h., es existieren eine Vielzahl von Konformationen).

Ein unregelmäßiges Zwölfeck wird vom Phenalen, einem polycyclischen aromatischen Kohlenwasserstoff, gebildet.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Zwölfecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe Kürscháks geometrischen Beweis the Wolfram Demonstration Project