Zweistellige Verknüpfung

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Eine zweistellige Verknüpfung, auch binäre Verknüpfung genannt, ist in der Mathematik eine Verknüpfung, die genau zwei Operanden besitzt. Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra sehr häufig auf und man spricht dort abkürzend auch von Verknüpfung ohne den Zusatz zweistellig. Es gibt aber auch Verknüpfungen mit anderer Stelligkeit, die zum Beispiel drei oder mehr Operanden miteinander verknüpfen.

Definition[Bearbeiten]

Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung f\colon A \times B \to C vom kartesischen Produkt zweier Mengen A und B nach einer dritten Menge C. Eine solche Verknüpfung f ordnet jedem geordneten Paar (a,b) von Elementen a \in A und b \in B als den zwei Operanden mit f(a,b)=c ein Element c \in C zu als das Resultat oder Ergebnis der Verknüpfung. Wenn die Mengen A, B und C gleich sind, wird die Verknüpfung auch innere Verknüpfung genannt; andernfalls spricht man von einer äußeren Verknüpfung.

Schreibweisen[Bearbeiten]

Zweistellige Verknüpfungen f schreibt man oft in Infixnotation a\,f\,b anstelle der gewöhnlichen Präfixnotation f(a,b). Zum Beispiel schreibt man eine Addition als a+b anstelle von {+}(a,b). Eine Multiplikation \cdot wird oft ganz ohne Symbol geschrieben, also a b = a \cdot b = \cdot(a, b). Die bekannteste Postfixnotation ist die umgekehrte Polnische Notation, die ohne Klammern auskommt. Die gewählte Schreibweise, ob Präfix, Infix, oder Postfix, richtet sich im Wesentlichen nach der Nützlichkeit im gegebenen Kontext und den jeweiligen Traditionen.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Komposition von Abbildungen ist eine zweistellige Verknüpfung: Sie ordnet jeder Abbildung f\colon X \to Y und jeder Abbildung g\colon Y \to Z ihre Hintereinanderausführung g \circ f\colon X \to Z zu. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung \circ \colon \mathrm{Abb}(Y,Z) \times \mathrm{Abb}(X,Y) \to \mathrm{Abb}(X,Z). Hierbei können die Mengen X, Y und Z beliebig gewählt werden. Diese Verknüpfung tritt in fast allen Gebieten der Mathematik auf und liegt der Kategorientheorie zugrunde.

Innere zweistellige Verknüpfung[Bearbeiten]

Eine innere zweistellige Verknüpfung oder zweistellige Operation auf einer Menge A ist eine zweistellige Verknüpfung f \colon A \times A \to A, die also jedem geordneten Paar aus A ein Element von A zuordnet. Dies entspricht der obigen allgemeinen Definition im Spezialfall A=B=C. Das zusätzliche Attribut innere drückt aus, dass alle Operanden aus der Menge A sind und die Verknüpfung nicht aus A hinausführt. Man sagt dazu auch, A ist abgeschlossen bezüglich f.

Innere zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und anderen mathematischen Strukturen.

Ganz allgemein nennt man eine Menge A mit einer beliebigen inneren Verknüpfung * \colon A \times A \to A auch Magma. Oft haben solche Verknüpfungen noch weitere Eigenschaften, zum Beispiel sind sie assoziativ oder kommutativ. Viele haben auch ein neutrales Element und invertierbare Elemente.

Beispiele[Bearbeiten]

Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art[Bearbeiten]

Eine äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art ist eine zweistellige Verknüpfung f\colon\, A \times B \to A, die man Rechtsoperation von B auf A nennt, bzw. f\colon\, B \times A \to A, die man Linksoperation von B auf A nennt. Sie unterscheiden sich von inneren zweistelligen Verknüpfungen dadurch, dass die als Operatorenbereich bezeichnete Menge B, deren Elemente Operatoren genannt werden, nicht notwendig eine Teilmenge von A ist, also von außerhalb kommen kann. Man sagt dann B operiert von rechts bzw. von links auf A, und die Elemente von B heißen Rechts- bzw. Linksoperatoren.

Durch jeden Operator \beta \in B ist genau eine Abbildung \vartheta_{f \beta}\colon A \to A,\, a \mapsto \vartheta_{f \beta}(a) := a \,f\, \beta, bzw. \vartheta_{\beta f}\colon A \to A,\, a \mapsto \vartheta_{\beta f}(a) := \beta \,f\, a, definiert, die auch die Transformation zu \beta genannt wird. Bei einer Multiplikation f schreibt man statt a \,f\, \beta bzw. \beta \,f\, a auch kurz a \beta bzw. \beta a und es wird in der Regel zwischen dem Operator \beta und der zugehörigen Transformation \vartheta_\beta\colon a \mapsto a \beta oder \vartheta_\beta\colon a \mapsto \beta a nicht mehr unterschieden. Man schreibt dann in der sogenannten Operatorenschreibweise: \beta\colon A \to A,\, a \mapsto a \beta, bzw. \beta\colon A \to A,\, a \mapsto \beta a.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für jede natürliche Zahl n ist eine innere n-stellige Verknüpfung f\colon A^n \to A immer auch eine äußere zweistellige Verknüpfung erster Art, nämlich sowohl eine Rechts- als auch eine Linksoperation von A^{n-1} auf A (es ist stets A^0 = \{\emptyset\}). Solche inneren Verknüpfungen werden daher auch allgemein als n-stellige Operationen bezeichnet. Eine nullstellige Verknüpfung f\colon \{\emptyset\} \to A kann als innere Verknüpfung f\colon A^0 \to A aufgefasst werden und daher stets als nullstellige Operation gelten.
  • Bei einer Gruppenoperation \star\colon\, G \times X \to X ist (G, *) eine Gruppe und X eine Menge. Man fordert zusätzlich eine gewisse Verträglichkeit dieser Operation mit der Gruppenstruktur (G, *), nämlich (g * h) \star x = g \star (h \star x) und e \star x = x für alle g, h \in G,\, x \in X und das neutrale Element e von G.
  • In der linearen Algebra ist bei der Skalarmultiplikation \odot\colon\, K \times V \to V der Operatorenbereich K ein Körper, meist \R oder \C, und V eine abelsche Gruppe, etwa \R^n bzw. \C^n. Man fordert zusätzlich eine entsprechende Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit den bereits gegebenen Strukturen (K, +, \cdot) und (V, \oplus). Ausgestattet mit der Operation \odot wird (V, \oplus, \odot) zu einem Vektorraum über K.

Bemerkung[Bearbeiten]

Der Begriff Operation bzw. Operator wird, z.B. in der Funktionalanalysis, auch für allgemeine zweistellige Verknüpfungen f\colon\, A \times B \to C bzw. f\colon\, B \times A \to C gebraucht. Hierbei sind A, C Mengen mit gleicher (meist algebraischer) Struktur, und oft soll die Transformation \vartheta_{f \beta}\colon A \to C bzw. \vartheta_{\beta f}\colon A \to C mit der Struktur auf A und C verträglich sein.

Äußere zweistellige Verknüpfungen zweiter Art[Bearbeiten]

Eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art ist eine Abbildung f\colon A \times A \to C, das heißt f ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A, aber A muss bezüglich f nicht abgeschlossen sein, es darf also auch C \nsubseteq A gelten.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jede innere zweistellige Verknüpfung f\colon A \times A \to A ist auch eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.
  • Das Skalarprodukt im n-dimensionalen \R-Vektorraum \R^n, n \geq 1, ordnet je zwei Vektoren aus \R^n eine reelle Zahl zu und ist somit eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art. Für n = 1 ist das Skalarprodukt auch eine innere zweistellige Verknüpfung, für n > 1 jedoch nicht.
  • Das Skalarprodukt im Schiefkörper der Quaternionen \H ist eine innere zweistellige Verknüpfung und damit auch eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art. Fasst man \H dagegen als vierdimensionale Divisionsalgebra über \R auf, dann ist das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung mehr, es bleibt aber eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.
  • Ist A ein affiner Raum über einem Vektorraum V, so ist A \times A \to V mit (P, Q) \mapsto \overrightarrow{PQ} eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Gert Böhme: Algebra (= Anwendungsorientierte Mathematik. Band 1). 4., verb. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1981, ISBN 3-540-10492-5, S. 80.
  •  F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 11. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0, S. 38–41.
  •  Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der Linearen Algebra. Teil 1. Teubner, Stuttgart 1980, ISBN 3-519-02203-6, S. 101, 204–207.
  •  Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. 9. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, S. 146–148.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Binary operations – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien