Zwischenwertsatz

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Zwischenwertsatz: Sei f eine auf [a,b] definierte stetige Funktion mit f(a) < s < f(b), dann gibt es mindestens ein x mit f(x)=s

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich stetiger Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion , die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, jeden Wert zwischen und annimmt. Haben insbesondere und verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von im abgeschlossenen Intervall . Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem (falls ) bzw. (falls ) ein mit . Anders formuliert bedeutet dies mit und , dass .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte und es sei .

Die Funktion

ist stetig auf und es gilt sowie . Durch Bisektion wird ein Punkt mit konstruiert. Für diesen gilt dann .

Dazu sei mit eine Intervallschachtelung. Für jedes sei der Mittelpunkt des -ten Intervalls. Mit diesem sei das nächste, verkleinerte Intervall

konstruiert.

Falls gilt, ist schon der gesuchte Punkt, und man kann die Folgen der konstant mit dem Wert fortsetzen. Ansonsten wird das neue Intervall weiter verkleinert.

Bricht die Konstruktion nicht nach endlich vielen Schritten ab, so gibt es nach dem Intervallschachtelungsprinzip eine gemeinsame Zahl in allen Intervallen, .

Offensichtlich ist monoton steigend und nach oben beschränkt und monoton fallend und nach unten beschränkt, beide Folgen haben den gemeinsamen Grenzwert .

Aus der Stetigkeit von im Punkt folgt

.

Wegen für alle gilt auch , und wegen folgt analog . Damit ist bewiesen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion f nimmt den Wert u mit f(a) < u < f(b) an der Stelle c an.

Die Kosinus-Funktion ist im Intervall stetig, es ist und . Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert hat.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Um daraus wieder den Zwischenwertsatz zu erhalten, benötigt man noch die Aussage, dass eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist (jeglicher Art, d. h. beschränkt oder unbeschränkt; offen, halboffen oder abgeschlossen).

Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt für Ableitungsfunktionen:[1][2]

Ist eine auf dem Intervall definierte differenzierbare Funktion mit , so nimmt die Ableitungsfunktion jeden Wert zwischen und an.

Man beachte, dass dies auch gilt, wenn die Ableitungsfunktion nicht stetig ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Fichtenholz, S. 206
  2. Köhler, S. 196