Zwischenwertsatz

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Zwischenwertsatz: Sei f eine auf [a,b] definierte stetige Funktion mit f(a) < s < f(b), dann gibt es mindestens ein x mit f(x)=s

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich stetiger Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion , die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, jeden Wert zwischen und annimmt. Haben insbesondere und verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von im abgeschlossenen Intervall . Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine stetige reelle Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem (falls ) bzw. (falls ) ein mit . Anders formuliert bedeutet dies mit und , dass .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis setzt voraus, dass die Grenzen des betrachteten abgeschlossenen Intervalls endlich sind (gleichbedeutend: ist auch beschränkt und somit kompakt.). Tatsächlich gilt der Zwischenwertsatz auch für unbeschränkte abgeschlossene Intervalle; die dann zu beweisenden Behauptungen finden sich im Abschnitt Verallgemeinerung dieses Artikels.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte , und es sei . - Die Funktion

ist (wegen Stetigkeit von Verkettungen) stetig auf .

Wegen ist , wegen ist , insgesamt also

Zum Beweis der Behauptung ist hinreichend zu zeigen, dass eine Nullstelle hat, denn .

Zum Nachweis der Existenz von dient eine Folge von Intervallen mit folgenden (zu beweisenden) Eigenschaften:

  • Sämtliche Glieder respektieren die Ungleichungskette (1) (und schließen daher ein).
  • ist eine Intervallschachtelung (und definiert genau ein ).
  • ist eine Nullstelle von .

Eine Intervallfolge sei rekursiv definiert mit für das erste Intervall.

ist der Mittelpunkt des -ten Intervalls.

Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls seien

für : und
für : .


zu (i): Mit (1) ist ist nicht positiv, nicht negativ.

Beim Übergang von zu wird genau eine der Intervallgrenzen (bzw. ) genau dann durch eine neue Grenze ersetzt, wenn auch nicht positiv (bzw. nicht negativ) ist.
Also[1] gilt für bzw. , q.e.d.


zu (ii): Im folgenden Intervall ist die ersetzende Grenze größer als eine ersetzte untere Grenze , aber kleiner als eine ersetzte obere Grenze , indem der Intervallmittelpunkt von ist. Da der Übergang von zu den Intervalldurchmesser halbiert, ist der Intervalldurchmesser fast aller Folgeglieder kleiner als ein beliebig vorgegebener. ( ist eine Nullfolge.)

Behauptung: ist monoton steigend .

Beweis: Für ist nichts zu beweisen. Für folgt aus : .

Behauptung: ist monoton fallend .

Beweis: Für ist nichts zu beweisen. Für folgt aus : .

Behauptung: , ist eine Nullfolge. - Beweis: Der Durchmesser des Intervalls ist

für : ;
für : .
Insgesamt können alle auch geschrieben werden, und ist wegen eine (geometrische) Nullfolge.[2]

Mit (2), (3) und (4) ist eine Intervallschachtelung, die genau eine Zahl definiert.

Mit liegt im Intervall der Voraussetzung, q.e.d.

Bemerkung: Endlich viele Intervalle einer wie konstruierten Intervallschachtelung liegen dem numerischen Verfahren Bisektion zugrunde.


zu (iii): ist gemeinsamer Grenzwert der Folgen und ; wegen Stetigkeit von ist gemeinsamer Grenzwert der Folgen und . Die Beschränktheit der Folgen und bewirkt, dass weder positiv noch negativ ist.

Aus (ii) folgt[3]

,

hieraus mit dem Folgenkriterium vermöge der Stetigkeit von bei :

.

Mit (i) haben die Folgen bzw. eine obere bzw. unterer Schranke, die sich auf den jeweiligen Grenzwert fortsetzt:[4]

, ebenso , insgesamt also , q.e.d.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion f nimmt den Wert u mit f(a) < u < f(b) an der Stelle c an.

Die Kosinus-Funktion ist im Intervall stetig, es ist und . Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle bei .

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Daraus ist wieder der Zwischenwertsatz zu erhalten, weil Stetigkeit einer Funktion im topologischen Sinne die im Zwischenwertsatz für reelle Funktionen geforderte einschließt, und weil eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist. Anderes als hier im Abschnitt "Beweis" braucht das betrachtete Intervall bei diesem Aufbau nicht beschränkt zu sein.

Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt für Ableitungsfunktionen:[5][6]

Ist eine auf dem Intervall definierte differenzierbare Funktion mit , so nimmt die Ableitungsfunktion jeden Wert zwischen und an.

Man beachte, dass dies auch gilt, wenn die Ableitungsfunktion nicht stetig ist. Der Satz folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Der Gedankengang entspricht einer vollständigen Induktion.
  2. Weiteres zur Konvergenz geometrischer Folgen hier.
  3. wegen der Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung
  4. vgl. Aussage zum Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge
  5. Fichtenholz, S. 206
  6. Köhler, S. 196