Zyklenzeiger

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Der Zyklenzeiger, auch Zyklenindikator genannt, wird in der Mathematik als Hilfsmittel eingesetzt, wenn bei der Bestimmungen komplexerer Anzahlen in der Kombinatorik Symmetrien berücksichtigt werden können.

Konkret ist der Zyklenzeiger ein Polynom, welches Informationen über die Struktur einer passenden Gruppe abstrahiert.

Die bekannteste Anwendung ist der Satz von Pólya, welcher das Abzählen komplexerer Äquivalenzklassen von Objekten ermöglicht, etwa die Anzahl aller echt unterschiedlichen Moleküle einer Familie in der Chemie oder die der Bäume in der Graphentheorie.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Permutationsgruppe mit Elementen vom Grad . Jede Permutation lässt sich eindeutig als Vereinigung disjunkter Zyklen darstellen. Der Zykeltyp der Permutation sei durch die Anzahl aller Zyklen von mit Länge gegeben, also

Nun wird jedem ein Monom

in den Variablen zugewiesen. Dann ist der Zyklenzeiger von gegeben durch das den Durchschnitt bildende Polynom

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zyklische Gruppe [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zyklische Gruppe wird durch die drei Permutationen

realisiert. besteht aus Zyklen der Länge Eins, also lautet das entsprechende Monom . Hingegen bestehen und jeweils aus einem Zyklus der Länge 3, also ergibt sich zweimal das Monom . Durchschnittsbildung führt auf den Zyklenzeiger von :

.

Symmetrische Gruppe [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die symmetrische Gruppe besteht aus den sechs Permutationen

und der Zyklenzeiger ist

.

Drehgruppe eines Würfels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Würfel mit eingefärbten Seiten

Die Drehgruppe eines Würfels, das heißt die Automorphismengruppe seiner Rotationen im dreidimensionalen Raum, kann als Permutationsgruppe der sechs Seiten des Würfels dargestellt werden. Insgesamt gibt es 24 verschiedene Automorphismen, die für die Berechnung des Zyklenzeigers dieser Gruppe klassifiziert werden müssen:

  • Eine Rotation um 0°: Dies ist die Identität, die das Monom beiträgt.
  • Sechs Rotationen der Seiten um 90°: Es gibt drei Möglichkeiten, die Rotationsachse durch den Mittelpunkt einer Seite und dem auf der gegenüberliegenden Seite zu legen. Diese beiden Seiten bleiben also durch die Rotation unverändert, wogegen die anderen vier Seiten jeweils durch einen Zyklus der Länge 4 parallel zur Rotationsachse permutiert werden. Damit ergibt sich das Monom .
  • Drei Rotationen der Seiten um 180°: Es wird um dieselbe Achse wie eben rotiert. Diesmal werden jedoch gegenüberliegende Seiten vertauscht, so dass zwei Zyklen der Länge 2 entstehen. Damit ergibt sich das Monom .
  • Acht Rotationen der Ecken um 120°: Die vier Rotationsachsen gehen hier durch zwei entgegengesetzte Punkte, d. h. die Endpunkte einer Hauptdiagonale. Es entstehen jeweils zwei Zyklen der Länge 3 der Oberflächen, die an die Endpunkte angrenzen. Damit ergibt sich das Monom .
  • Sechs Rotationen der Kanten um 180°: Die Rotationsachse geht hier durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten. Es werden jeweils die beiden Seiten vertauscht, die an eine der beiden Kanten angrenzen, sowie die beiden Seiten, die jeweils nur an eine Ecke der beiden Kanten angrenzen. Insgesamt gibt es also drei Zyklen der Länge 2 und es ergibt sich somit das Monom .

Insgesamt ergibt sich damit für den Zyklenzeiger der Gruppe G

Diese Formel kann jetzt für verschiedene kombinatorische Probleme verwendet werden: Die Substitution und Anwendung des Satzes von Pólya ergibt etwa, dass es insgesamt

echt verschiedene (d. h. durch Rotation nicht ineinander überführbare) Möglichkeiten gibt, die Seiten eines Würfels mit verschiedenen Farben einzufärben.

Man beachte: Alternativ hätte man auch eine auf die Ecken oder Kanten (wenn der Würfel als Graph aufgefasst wird) wirkende Gruppe betrachten können, was allerdings auf andere Zyklenzeiger führen würde.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Martin Aigner: Diskrete Mathematik. Kapitel 4.4 Muster und Zyklenindikator. 6. korr. Aufl. Vieweg+Teubner, 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8.
  • Konrad Jacobs, Dieter Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik. de Gruyter Lehrbuch, 2003, ISBN 978-3-11-019799-0, Kapitel XIII Die Abzähltheorie von Pólya.