Zyklische Permutation

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Graph einer zyklischen Permutation der Zahlen von 1 bis 8

Eine zyklische Permutation, kurz Zyklus oder Zykel (von griechisch κύκλος Kreis), ist in der Kombinatorik und der Gruppentheorie eine Permutation, die bestimmte Elemente einer Menge im Kreis vertauscht und die übrigen festhält. Das erste Element des Zyklus wird dabei auf das zweite abgebildet, das zweite Element auf das dritte, und so weiter bis hin zum letzten Element, das wieder auf das erste abgebildet wird.

Zyklische Permutationen weisen eine Reihe besonderer Eigenschaften auf. So ist die Verkettung zweier zyklischer Permutationen kommutativ, wenn diese disjunkte Träger besitzen. Die inverse Permutation einer zyklischen Permutation ist immer ebenfalls zyklisch. Weiter ergeben beliebige Potenzen einer zyklischen Permutation, deren Länge eine Primzahl ist, wieder zyklische Permutationen. Die zyklischen Permutationen fester Länge bilden zudem Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppe aller Permutationen.

Jede zyklische Permutation kann in einzelne Transpositionen zerlegt werden und weist daher genau dann ein gerades Vorzeichen auf, wenn ihre Länge ungerade ist. Jede Permutation kann wiederum als Verkettung paarweise disjunkter Zyklen geschrieben werden, was in der Zykelschreibweise von Permutationen genutzt wird. Die Ordnung einer Permutation entspricht dann dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Längen dieser Zyklen. Zyklische Permutationen mit großer Zykellänge spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Pseudozufallszahlengeneratoren.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die symmetrische Gruppe aller Permutationen der Menge , dann heißt eine Permutation zyklisch mit der Länge oder -Zyklus, wenn sie eine Liste von paarweise verschiedenen Zahlen im Kreis vertauscht, das heißt

,

und alle anderen Zahlen festhält. Es muss also gelten

  und  

sowie

  für   .

Die Menge heißt der Träger oder die Bahn von . Allgemeiner können auch Permutationen beliebiger endlicher Mengen, beispielsweise Alphabete, betrachtet werden, zur Analyse der mathematischen Eigenschaften kann man sich jedoch auf die ersten natürlichen Zahlen beschränken.

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben der obigen Funktionsnotation, bei der die Abbildung vollständig angegeben wird, kann eine zyklische Permutation auch dadurch notiert werden, dass lediglich die Zahlen, die zyklisch vertauscht werden, als Indizes mittels

angegeben werden. Häufig wird eine zyklische Permutation auch in Zykelschreibweise notiert, indem diese Zahlen ohne Trennzeichen in Klammern gesetzt werden:

In beiden Schreibweisen wird davon ausgegangen, dass die Gesamtzahl der Zahlen bekannt ist. Die Index- und Zykelschreibweisen sind allerdings nicht eindeutig, denn die Startzahl kann innerhalb des Zyklus beliebig gewählt werden. Jeder -Zyklus kann so auf verschiedene Weisen

oder

beschrieben werden. Oft gesetzte Konvention ist aber, für die kleinste oder die größte Zahl des Zyklus zu wählen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zyklische Permutationen in S4
Länge Zyklische Permutationen Anzahl
1 id 1
2 (1 2), (1 3), (1 4),
(2 3), (2 4), (3 4)
6
3 (1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4),
(1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)
8
4 (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4),
(1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)
6

Eine einfache zyklische Permutation der Länge drei ist

.

Hierbei wird die Zahl auf die Zahl , die Zahl auf die Zahl und die Zahl wieder auf die Zahl abgebildet. Die Permutation

ist eine zyklische Permutation der Länge zwei, bei der die Zahlen und vertauscht werden und die Zahlen und festgehalten werden. Jede zyklische Permutation der Länge eins

entspricht gerade der identischen Permutation , die alle Zahlen unverändert lässt. In der symmetrischen Gruppe finden sich die in der nebenstehenden Tabelle aufgeführten zyklischen Permutationen. Von den Permutationen in sind demnach nur drei Permutationen nichtzyklisch, nämlich diejenigen, die jeweils zwei Paare von Zahlen vertauschen.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei zyklischen Permutationen werden folgende Spezialfälle betrachtet:

  • Vertauschung oder Transposition: Eine zyklische Permutation, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht, also
  für   .
  • Nachbarvertauschung oder Nachbartransposition: Eine zyklische Permutation, die zwei aufeinander folgende Elemente miteinander vertauscht, also
  für   .
  • Zyklischer Rechtsshift: Eine zyklische Permutation, die alle Elemente der Reihe nach aufsteigend im Kreis vertauscht, also
.
  • Zyklischer Linksshift: Eine zyklische Permutation, die alle Elemente der Reihe nach absteigend im Kreis vertauscht, also
.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anzahl der k-Zyklen in Sn
1 2 3 4 5 6 Summe
1 1 1
2 1 1 2
3 1 3 2 6
4 1 6 8 6 21
5 1 10 20 30 24 85
6 1 15 40 90 144 120 410

In der Menge der verschiedenen Permutationen der Zahlen gibt es genau viele -Zyklen. Jeder Permutation in Tupelschreibweise entspricht nämlich ein -Zyklus , der wiederum auf verschiedene Weisen geschrieben werden kann. Bezeichnet nun allgemein die Menge der -Zyklen in , dann gilt für

   (Folge A111492 in OEIS)

denn es gibt Möglichkeiten, von Zahlen auszuwählen. Für die Gesamtmenge aller zyklischen Permutationen in inklusive der identischen Permutation gilt damit:

   (Folge A121726 in OEIS)

Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Allgemeinen ist die Hintereinanderausführung zweier zyklischer Permutationen nicht kommutativ. Besitzen allerdings zwei zyklische Permutationen und disjunkte Träger, gilt also

,

dann lässt sich ihre Reihenfolge bei der Hintereinanderausführung vertauschen, das heißt, es gilt

.

Zyklische Permutationen mit disjunkten Trägern werden auch disjunkte Zyklen genannt.

Abgeschlossenheit und Inverse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hintereinanderausführung zweier zyklischer Permutationen ist nicht notwendigerweise wieder zyklisch, wie das Beispiel

zeigt. Daher bildet die Menge der zyklischen Permutationen für keine Untergruppe der symmetrischen Gruppe . Allerdings ist die inverse Permutation einer zyklischen Permutation stets ebenfalls eine zyklische Permutation, nämlich diejenige, die die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge zyklisch vertauscht, also

.

Die inverse Permutation einer Transposition ist damit wieder die gleiche Transposition.

Potenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird eine zyklische Permutation zweimal hintereinander angewandt, so verschieben sich alle Indizes zyklisch um , das heißt wird auf abgebildet, auf und so weiter bis hin zu auf und auf . Allgemein verschieben sich durch die -malige Anwendung einer zyklischen Permutation alle Indizes zyklisch um . Die -te Potenz einer zyklischen Permutation der Länge ist genau dann selbst wieder zyklisch, wenn und teilerfremd sind. Speziell ergibt die -malige Anwendung einer zyklischen Permutation die identische Permutation, also

,

und die -malige Anwendung ergibt wieder die Ausgangspermutation, also

.

Daher bildet die Menge

mit der Hintereinanderausführung eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe , wobei das inverse Element zu ist. Diese Untergruppe ist isomorph zur zyklischen Gruppe und besteht genau dann ausschließlich aus zyklischen Permutationen, wenn eine Primzahl ist.

Konjugation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine zyklische Permutation

berechnet sich die Konjugation mit einer beliebigen Permutation zu

,

sie ergibt also wiederum einen -Zyklus. Die Menge bildet dabei für jedes eine Konjugationsklasse der Gruppe . Allgemein sind zwei Permutationen genau dann zueinander konjugiert, wenn ihr Zykeltyp übereinstimmt.

Zerlegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zerlegung von Zyklen in Teilzyklen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede zyklische Permutation der Länge lässt sich an einer beliebigen Stelle mittels

in zwei Teilzyklen zerlegen. Wendet man diese Zerlegung wiederholt mit an, ergibt sich, dass jede zyklische Permutation der Länge mittels

.

als Verkettung von Transpositionen geschrieben werden kann. Für das Vorzeichen einer zyklischen Permutation der Länge gilt damit

,

da Transpositionen immer ein ungerades Vorzeichen haben. Eine zyklische Permutation ist also genau dann gerade, wenn ihre Länge ungerade ist.

Beispiel

Die zyklische Permutation der Länge vier lässt sich durch

in drei Transpositionen zerlegen und ist demnach ungerade.

Zerlegung von Permutationen in Zyklen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph einer Permutation der Zahlen von 1 bis 7, die in drei disjunkte Zyklen zerfällt

Jede Permutation lässt sich eindeutig (bis auf Vertauschung der Faktoren) als Verkettung von paarweise disjunkten Zyklen darstellen. Das heißt, es gilt

mit paarweise disjunkten Trägern für , wobei ist. Die Stirling-Zahlen erster Art geben dabei an, wie viele Permutationen in als Verkettung von genau zyklischen Permutationen geschrieben werden können. Die Ordnung einer Permutation entspricht der Ordnung der zugehörigen zyklischen Gruppe und ist damit das kleinste gemeinsame Vielfache der Längen dieser Zyklen. Weiter ergibt sich das Vorzeichen einer Permutation aus der Zahl der Zyklen gerader Länge.

Beispiel

Die Permutation

zerfällt in die drei disjunkten Zyklen

und hat damit die Ordnung . Da nur einer der drei Zyklen eine gerade Länge hat, ist die Permutation ungerade.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zyklische Permutationen mit großer Zykellänge spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Pseudozufallszahlengeneratoren. Die maximale Periode eines solchen Zufallszahlengenerators entspricht der Anzahl der möglichen Zustände des Generators. Bei einfachen rekursiven Generatoren der Form

mit ist die Zahl der möglichen Zustände gerade . Die Periode eines solchen Generators ist genau dann maximal, wenn die Funktion eine zyklische Permutation der Länge der Menge darstellt. Im Fall von linearen Kongruenzgeneratoren der Art

gibt der Satz von Knuth hinreichende und notwendige Bedingungen an die Parameter und für die Maximalität der Periodenlänge.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]