Verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung

Die multivariate hypergeometrische Verteilung, auch verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung, allgemeine hypergeometrische Verteilung oder polyhypergeometrische Verteilung genannt, ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung und zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie ist eine multivariate Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung und kann aus dem Urnenmodell abgeleitet werden.

Definition

Eine Zufallsvariable $X$ mit Werten in $\{(b_{1},\ldots ,b_{k})\in \mathbb {N} _{0}^{k}\,|\,b_{1}+\ldots +b_{k}=n\}$ heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern $B=(B_{1},\ldots ,B_{k})\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ mit $B_{1}+\ldots +B_{k}=N$ und $n\leq N$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f_{B,n}(b_{1},\dots ,b_{k})={\frac {{\binom {B_{1}}{b_{1}}}\cdot {\binom {B_{2}}{b_{2}}}\cdot \ldots \cdot {\binom {B_{k}}{b_{k}}}}{\binom {N}{n}}}$

besitzt. Man schreibt dann $X\sim {\mathcal {H}}_{B,n}$ oder $X\sim Hyp_{B,n}$ wie bei der hypergeometrischen Verteilung.

Herleitung aus dem Urnenmodell

Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich anschaulich aus dem Urnenmodell herleiten. Gegeben sei eine Urne mit insgesamt $N$ Kugeln, von denen jede in einer von $k$ unterschiedlichen Farben eingefärbt ist. Von der Farbe $i$ gibt es $B_{i}$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, beim $n$-maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau $b_{i}$ Kugeln der Farbe $i$ zu ziehen, ist multivariat hypergeometrisch verteilt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Ist $X_{i}$ die Anzahl der Kugeln der Farbe $i$, so ist der Erwartungswert

$\operatorname {E} (X_{i})={\frac {nB_{i}}{N}}$

Varianz

Die Varianz ist

$\operatorname {Var} (X_{i})={\frac {B_{i}}{N}}\left(1-{\frac {B_{i}}{N}}\right)n{\frac {N-n}{N-1}}$

Kovarianz

Für die Kovarianz zwischen der Anzahl der Kugeln gilt

$\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-{\frac {nB_{i}B_{j}}{N^{2}}}{\frac {N-n}{N-1}}$

wenn $i\neq j$.

Beispiel

Es ist eine Urne mit 5 schwarzen, 10 weißen und 15 roten Kugeln gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, bei sechsmaligem Ziehen genau zwei Kugeln von jeder Farbe zu ziehen, ist

$P(2{\text{ schwarz}},2{\text{ weiss}},2{\text{ rot}})={{{5 \choose 2}{10 \choose 2}{15 \choose 2}} \over {30 \choose 6}}\approx 0.0795$,

also knapp acht Prozent. Es ist $n=6,N=30,B_{1}=5,B_{2}=10,B_{3}=15$. Damit folgt zum Beispiel für den Erwartungswert der schwarzen Kugeln $\operatorname {E} ({\text{schwarz}})=1$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der multivariaten hypergeometrischen Verteilung mit $B_{1}=M$ und $B_{2}=N-M$. Man beachte hier die unterschiedlichen Parametrisierungen.

Beziehung zur Multinomialverteilung

Die multivariate hypergeometrische Verteilung und die Multinomialverteilung sind verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell entstehen, mit dem Unterschied, dass im Multinomialmodell zurückgelegt wird. Insbesondere lässt sich zeigen, dass wenn $N\rightarrow \infty$ und $B_{i}\rightarrow \infty$ gilt, sodass ${\tfrac {B_{i}}{N}}\rightarrow p_{i}$ ist, und die $p_{i}$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\{1,\dots ,k\}$ definieren, dann ${\mathcal {H}}_{B,n}$ punktweise gegen die Multinomialverteilung ${\mathcal {M}}_{p,n}$ mit den Parametern $p_{i}$ und $n$ konvergiert. Die multivariate hypergeometrische Verteilung kann somit durch die Multinomialverteilung approximiert werden.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart