Diagonalensatz
Der Diagonalensatz ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, mit dem eine charakteristische Bedingung formuliert wird, unter der ein Viereck der euklidischen Ebene ein Parallelogramm ist.
Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Satz besagt folgendes:[1]
- Gegeben sei ein Viereck der euklidischen Ebene.
- Dann gilt:
- ist jedenfalls dann ein Parallelogramm, wenn die beiden Diagonalen und sich gegenseitig halbieren in der Weise, dass die Mittelpunkte der beiden Diagonalen übereinstimmen.
Herleitung mittels Vektorrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Bedingung besagt, dass es in der euklidischen Ebene einen Punkt gibt dergestalt, dass die beiden Vektorgleichungen und bestehen.
Daraus folgert man:
- .
Genauso ergibt sich:
- .
Dies beweist den Satz.
Verallgemeinerung auf Koordinatenebenen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Diagonalensatz lässt sich auf affine Koordinatenebenen über kommutativen Körpern einer Charakteristik ausdehnen und verschärfen; und zwar wie folgt:[2]
- Gegeben seien vier paarweise verschiedene nichtkollineare Punkte .
- Dann sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:
- (A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:
- Es sind und .[3]
- (A2) Die beiden Diagonalen und schneiden sich im Mittelpunkt der beiden Diagonalen; d. h.:
- Es gilt .
- (A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:
Anmerkung zu Koordinatenebenen über Körpern der Charakteristik 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für einen kommutativen Körper der Charakteristik ist der Sachverhalt anders. Bilden in diesem Falle vier Punkte ein Parallelogramm, so sind die Diagonalen parallel.[4]
Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0.
- Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim - Wien - Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2.
Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652
- ↑ Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 59
- ↑ Für zwei Punkte ist die Verbindungsgerade.
- ↑ Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 60