Graßmann-Zahl

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Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer -gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität ) und nicht-kommutierenden (Parität ) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente :

.

Seien Graßmann-Zahlen und komplexe Zahlen. Dann gilt

Definitorische Eigenschaften

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  • Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation:
  • Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition:
  • Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl:
  • Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation

  • Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes:


  • Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl:
  • Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl:
  • Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl:
  • Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null:
  • Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein:

    So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion .

Integration und Differentiation

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Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren:

  • Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei . Dann ist:

  • Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
  • Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen:

Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional

mit der Lagrangedichte für Fermionen , den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern und den Graßmann-Zahlen . Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):

Formale mathematische Definition

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Sei ein -dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis und

die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über , wobei das äußere Produkt und die direkte Summe bezeichnet.

Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.

Das Symbol wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.

Graßmann-Zahlen sind also von der Form

für streng wachsende -Tupel mit , und komplexe antisymmetrische Tensoren vom Rang .

Der Spezialfall entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.

Für unendlich-dimensionale Vektorräume bricht die Reihe

nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form

wobei dann als Körper und als Seele der Superzahl bezeichnet wird.

  • Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.