Madelunggleichungen

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Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.[1]

Ersetzt man dort die komplexe Funktion durch ihren Betrag und ihre Phase gemäß , so erhält man die Madelunggleichungen:[1]


wobei das Potential aus der Schrödingergleichung ist.

Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

wird als Wirkung interpretiert, als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:[2][3]

wobei

  • (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. (Impuls)
  • (Massedichte) mit Normierungsbedingung bzw. zu jeder Zeit
  • (Bohmsches Quantenpotential).

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

Einzelnachweise

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  1. a b Erwin Madelung: Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger. In: Naturwissenschaften. 14. Jahrgang, Nr. 45, 1926, S. 1004​–1004, doi:10.1007/BF01504657, bibcode:1926NW.....14.1004M.
  2. Erwin Madelung: Quantentheorie in hydrodynamischer Form. In: Z. Phys. 40. Jahrgang, Nr. 3–4, 1927, S. 322–326, doi:10.1007/BF01400372, bibcode:1927ZPhy...40..322M.
  3. I. Bialynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kaminski: Theory of Quanta. Oxford University Press, 1992, ISBN 0-19-507157-3..