Simsonsche Gerade

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Simson-Gerade

Die simsonsche Gerade ist ein Gegenstand der Dreiecksgeometrie. Liegen die Fußpunkte der von einem Punkt aus gefällten Lote auf die (eventuell verlängerten) Seiten eines Dreiecks auf einer gemeinsamen Geraden, so wird diese Gerade als simsonsche Gerade oder wallacesche Gerade und der Punkt als ihr Pol bezeichnet. Dies ist genau dann der Fall, wenn auf dem Umkreis von liegt.

Die Simson-Gerade ist irrtümlicherweise nach dem Mathematiker Robert Simson (1687–1768) benannt, in dessen Werk sich jedoch keine Arbeit zur Simson-Geraden finden lässt. In Wirklichkeit wurde sie 1797 von William Wallace (1768–1843) entdeckt.[1]

Weitere Eigenschaften

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Parallelen zur Simson-Gerade

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Simson-Gerade ist parallel zu AGBC, BGAC und CGAB

Jede Simson-Gerade eines Dreieckes besitzt drei besondere Parallelen, die jeweils durch einen der drei Eckpunkte des Dreiecks verlaufen. Genauer gesagt gilt der folgende Satz:

Gegeben sind ein Dreieck , ein Punkt auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist GAB nun der Schnittpunkt des Lotes von auf mit dem Umkreis, dann ist die Gerade CGAB parallel zur Simson-Geraden.[1]

Schnittwinkel zwischen Simson-Geraden

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Betrachtet man bei einem Dreieck zwei unterschiedliche Punkte auf dessen Umkreis, so erhält man zwei verschiedene Simson-Geraden. Der Schnittwinkel dieser beiden Simson-Geraden ist genau halb so groß wie der Winkel, den die beiden Punkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises bilden.

Es seien und zwei Punkte auf dem Umkreis von mit Mittelpunkt . Weiterhin sei der Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden und . Dann gilt .[1]

Simson-Gerade als Streckenhalbierende

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Verbindet man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks, so wird diese Verbindungsstrecke von der zugehörigen Simson-Geraden halbiert.

Gegeben sind ein Dreieck , ein Punkt auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist H der Höhenschnittpunkt von , dann schneidet die Simson-Gerade die Strecke in und es gilt . Außerdem liegt auf dem Feuerbachkreis.[1][2]
Simson-Geraden als Tangenten einer Deltoide

Lässt man den Simson-Pol auf dem Kreis wandern, dann besitzt die so entstehende Geradenschar von Simson-Geraden eine Deltoide, auch als Steiner-Hypozykloide bezeichnet, als Hüllkurve.[1][2]

Besitzen zwei Dreiecke denselben Umkreis und ihre zugehörigen Simson-Geraden denselben Pol, so ist der Schnittwinkel der beiden Simson-Geraden unabhängig von der Wahl des Pols. Mit anderen Worten: Für alle Punkte auf dem gemeinsamen Umkreis der beiden Dreiecke ergibt sich ein gleich großer Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden.

Die Simson-Gerade beziehungsweise eine auf ihr liegende Strecke lässt sich auch als entartetes Fußpunktdreieck auffassen. Verbindet man die Fußpunkte eines Punktes in der Ebene, so erhält im Normalfall ein Dreieck. Nähert sich der Punkt in der Ebene dem Umkreis des Ausgangsdreiecks an, dann geht das Fußpunktdreieck in eine Strecke auf der Simson-Gerade über.

Skizze zum Beweis der Kollinearität der Fußpunkte

Bewiesen wird: Liegt auf dem Umkreis von , so liegen die Fußpunkte auf einer gemeinsamen Geraden. Dazu zeigt man, dass gilt.

Die Fußpunkte und liegen auf dem Thaleskreis über . Da Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über demselben Kreisbogen gleich groß sind, folgt

.

Andererseits ist voraussetzungsgemäß ein Sehnenviereck. Die gegenüberliegenden Winkel und dieses Vierecks ergänzen sich daher zu . Insgesamt ergibt sich also

.

Die Punkte und liegen auf dem Thaleskreis über , sodass auch ein Sehnenviereck ist. Ähnlich wie vorher schließt man . Wegen erhält man daraus

.

Damit ist mit

die Behauptung bewiesen.

Bemerkung: Der angegebene Beweis bezieht sich auf die in der Skizze dargestellte Lage der Höhenfußpunkte. Liegen diese anders, muss die Begründung entsprechend variiert werden.

Einzelnachweise

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  1. a b c d e H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Simson Lines. § 2.5 in Geometry Revisited. In: Math. Assoc. Amer., Washington DC 1967, S. 41.
  2. a b Eric W. Weisstein: Simson-Gerade (engl.). In: MathWorld (englisch).
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 170–172.
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983.
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 137 ff., 206 ff., 243, 251 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
  • Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 43–48, 82–83, 121, 128–136.
Commons: Simson-Gerade – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien