Mehrkörpersimulation

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Die Mehrkörpersimulation (MKS) ist eine Methode der numerischen Simulation. Die Grundidee der Mehrkörpersimulation (MKS) besteht in der Simulation von räumlich bewegten Mechanismen, um Vorhersagen über deren Bewegungsabläufe im Zeitbereich (Positionen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) und der hierbei auftretenden Kräfte (Antriebskräfte, Lagerkräfte, Kontaktkräfte, ...) treffen zu können. Hierzu wird ein mechanisches Mehrkörpersystem bestehend aus einer endlichen Zahl von starren oder flexiblen Körpern, in ein mathematisch beschreibbares Ersatzmodell überführt[1]. Die Kopplung der Körper erfolgt über masselose kinematische Verbindungselemente (Lager, Gelenke,…), welche die Bewegungsmöglichkeiten der beteiligten Körper durch die Verringerung der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems einschränken, oder über Kraftelemente wie z. B. Feder-/Dämpferelemente und Kontakte.[2]

Die klassische MKS ging zunächst von sehr kleinen und daher vernachlässigbaren Deformationen der Körper aus (Starrkörpersimulation). Wesentliche Vereinfachungen sind hierbei die Konzentration der Bauteilmassen als Punktmassen im Körperschwerpunkt sowie die Annahme, dass die Abstände beliebiger Punkte eines Körpers zu jedem Zeitpunkt konstant sind[3]. Später erfolgte eine Erweiterung um flexible Körper basierend auf dem Ansatz der modalen Reduktion[4] sowie nichtlinearen FEM-Ansätzen[5].

Die Analyse von Mehrkörpersystemen erfolgt durch die Aufstellung und Lösung von Bewegungsdifferentialgleichungen. Die Bewegungsdifferentialgleichungen beschreiben die dynamischen Eigenschaften des Mehrkörpersystems. Nur bei extrem einfachen Systemen, die sich im Normalfall durch lineare Bewegungsgleichungen oder einen einzelnen Freiheitsgrad auszeichnen, kann dies analytisch geschehen. MKS-Programme erstellen die Bewegungsdifferentialgleichungen eines Mehrkörpersystems automatisch und Lösen diese mit Hilfe von Methoden der numerischen Integration, z. B. dem Runge-Kutta-Verfahren. Ein wichtiger Aspekt ist hierbei die Auswahl der Ortsvektoren und Drehmatrizen, welche die Lage der Körper des Systems im Raum beschreiben.[6]

Die Mehrkörpersimulation ist eine sehr grobe Vereinfachung der realen Welt. Um ein System detaillierter und genauer abzubilden, wird das Verfahren daher oft mit anderen Simulationsverfahren kombiniert. Dabei werden die Methoden der Finite-Elemente-Methode (FE), numerischen Strömungssimulation, Thermodynamik, Regelungstechnik, wie auch spezielle Programme für Reifen, Gummielemente, Hydrolager und weitere Konstruktionssimulationen in das Mehrkörpermodell integriert.

Bewegungsdifferenzialgleichungen

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Die Komplexität und Anzahl der Bewegungsgleichungen hängen von der Art und Weise ab, wie die Position und Orientierung eines Körpers im Raum beschreiben wird. In kommerziell verfügbaren Programmen haben sich hier die absoluten Koordinaten und Relativkoordinaten durchgesetzt.

Darstellung eines Mehrkörpersystems in Relativkoordinaten und absolut Koordinaten und die damit verbundene Rechenzeit in Abhängigkeit der Freiheitsgrade

Absolute Koordinaten

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Bei absoluten Koordinaten (oder kartesischen Koordinaten) wird der Ortsvektor jedes Körpers relativ zu einem ortsfesten Inertialkoordinatensystem beschrieben. Jeder Körper erhält unabhängig von kinematischen Lagern sechs Freiheitsgrade, welches im Lösungsalgorithmus zusammen mit den sogenannten Geschwindigkeitsgleichungen zu zwölf Bewegungsgleichungen pro Körper führt. Die Abbildung von kinematischen Lagern erfolgt über zusätzliche Zwangsbedingungen (algebraische Gleichungen) zwischen den entsprechenden Koordinaten der beteiligten Körpern, was die Anzahl der Gleichungen in dem zu integrierenden differential – algebraischen Gleichungssystem (DAE) weiter erhöht. Dieser Ansatz führt in der Regel zu einer hohen Anzahl an zu integrierenden Gleichungen mit dünnbesetzten Matrizen und einer konstanten Massenmatrix.[7]

Relativkoordinaten

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Im Fall von Relativkoordinaten, wird der Ortsvektor jeweils relativ zu seinem Vorgänger in einer kinematischen Kette bestimmt[8]. Gelenkverbindungen führen dann zu einer Reduktion der Anzahl der zu integrierenden Gleichungen, da diese die Bewegungsmöglichkeiten zwischen den beteiligten Körpern einschränken. Auf der anderen Seite führt dieser Ansatz zu einer positionsabhängigen und damit zeitabhängigen Massenmatrix, die im Gegensatz zum absoluten Koordinatenansatz zu jedem Lösungszeitpunkt erneut invertiert werden müsste[9][10]. Dieser Nachteil wird durch die Verwendung von rekursiven Formulierungen weitgehend eliminiert. Darüber hinaus führen Relativkoordinaten aufgrund der starken Kopplung der Koordinaten im beschreibenden Differentialgleichungssystem zu dicht besetzten Matrizen, die die Verwendung von sogenannten „Sparse Solvern“ ausschließen[11].

Bei einem Vergleich, stehen bei den absoluten Koordinaten viele aber einfache Gleichungen wenigen aber komplexen Gleichungen bei den Relativkoordinaten gegenüber. Einfachere Gleichungssystem sind in der Regel effizienter lösbar, allerdings steigt der Aufwand und damit die Rechenzeit mit steigender Anzahl an Freiheitsgraden stark an. Dagegen ist der Zusammenhang zwischen Rechenzeit und Freiheitsgraden bei Relativkoordinaten linear und deshalb eher geeignet für große und komplexe MKS-Modelle[12]. Aufgrund der geringeren Rechnerleistung am Anfang der Entwicklung von MKS-Programmen, konnten nur Modelle mit wenigen Freiheitsgraden gelöst werden[13]. Daher basieren ältere MKS-Programme wie MSC.ADAMS auf absoluten Koordinaten[14], während neuere MKS-Programme wie RecurDyn den Ansatz mit Relativkoordinaten gewählt haben[15].

Formulierung der Bewegungsdifferenzialgleichungen

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Die Formulierung der Bewegungsdifferenzialgleichungen erfolgt in kommerziellen Softwareprodukten mit dem Verfahren nach Newton-Euler mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit von d’Alembert und dem Prinzip der virtuellen Leistung von Jourdain[16] oder durch die Aufstellung von Energiebilanzen nach Lagrange.[17][18]

Im einfachsten Fall lautet der Ansatz der Bewegungsgleichungen:

Hierbei bezeichnet die Massenmatrix des Gesamtsystems und den Vektor aller auf die Körper wirkenden Kräfte. Der Vektor beschreibt den Vektor der unabhängigen Freiheitsgrade des Systems. Dieser definiert die Position jedes Körpers zu jedem Zeitpunkt eindeutig. Das entstehende System gewöhnlicher Differentialgleichen (ODE – Ordinary Differential Equations) zweiter Ordnung entspricht prinzipiell dem zweiten Newtonschen Gesetz (), in dem die Massenmatrix multipliziert mit dem Beschleunigungsvektor dem Kraftvektor gleichgesetzt wird.[19][20]

Im Sonderfall von geschlossenen kinematischen Ketten, wie diese z. B. bei einem einfachen Viergelenk gegeben ist, entspricht die Anzahl der Relativkoordinaten nicht mehr der Anzahl der realen Freiheitsgrade. In diesen Fällen müssen kinematische Ketten durch die Einführung von Schnittgelenken unterbrochen werden, was zu algebraischen Zusatzgleichungen führt. Hierdurch expandiert das ursprüngliche ODE zu einem differential - algebraisches Gleichungssystem (DAE – Differential Algebraic Equations).[21]

Gelenke oder Lager werden durch Zwangsbedingungen in das Gleichungssystem aufgenommen. Die Zwangsbedingungen werden wie folgt definiert:

Deren partielle Ableitungen nach der unabhängigen Koordinate lässt sich mit Hilfe der Jacobimatrix bilden.[22]

Die Verknüpfung der Zwangsbedingungen mit den Differentialgleichungen erfolgt über die Einführung korrespondierender Lagrange Multiplikatoren und deren Multiplikation mit der transponierten Jacobimatrix der Zwangsbedingenen.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung können nur aufwendig numerisch integriert werden. Deshalb wird eine Ordnungsreduktion durch die Einführung von zusätzlichen Geschwindigkeitsgleichungen durchgeführt. Es entsteht dabei das folgende DAE System mit dem Lösungsvektor: zum Zeitpunkt .[23]

Flexible Mehrkörpersimulation

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Die einfachste Möglichkeit, Flexibilität in ein Mehrkörpersystem einzubringen, ist die Verwendung von Lumped-Mass-Modellen oder Balkenelementen. Diese Methoden sind unkompliziert und zeichnen sich durch kurze Rechenzeiten aus, stoßen jedoch schnell an ihre Grenzen.[24]

In „Lumped-Mass“-Modellen sind die Körper durch mehrere Feder-Dämpfer-Elemente verbunden, was nur die Abbildung sehr einfacher Geometrien ermöglicht. Diese Modelle bieten eine vereinfachte Darstellung komplexer Strukturen, sind jedoch in ihrer Genauigkeit und Anwendung stark eingeschränkt. Die Balkentheorie von Euler-Bernoulli setzt voraus, dass bei einer Biegung eine Balkenelements nur kleine Verformungen und keine wesentlichen Schubdeformationen auftreten[25]. In der Praxis kann dies nicht immer für alle MKS-Modelle gewährleistet werden. Der Timoschenko-Balken erweitert die Euler-Bernoulli-Theorie um eine räumliche Ableitung zweiter Ordnung, wodurch auch Schubdeformationen berücksichtigt werden können[26].

Zu den rechenzeitintensiveren, aber deutlich genaueren Methoden gehören die modale Reduktion oder die direkte Integration von Ansätzen der Finite-Elemente-Methode (FEM). Diese Verfahren bieten eine höhere Genauigkeit und ermöglichen die Abbildung komplexerer Geometrien und Deformationsverhalten, erfordern jedoch einen höheren Rechenaufwand.

Modale Reduktion

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Bei der modalen Reduktion wird ein oder mehrere Körper aus dem Mehrkörpersystem, dessen Flexibilität nicht zu vernachlässigen ist, anhand seiner externen Eigenschaften abgebildet. Hierzu muss jedoch vor der eigentlichen Simulation festgelegt werden, wo die Anschlusspunkte an das restliche System sind. Die modale Reduktion beginnt dann mit der Durchführung einer Finite-Elemente-Analyse (FEA) zur Bestimmung der Eigenmoden und Eigenfrequenzen eines Körpers (z. B. Eigenformen aus einer Modalanalyse beim Craig-Bampton-Verfahren[27]). Anschließend werden die bedeutendsten Moden, typischerweise diejenigen mit den niedrigsten Frequenzen, ausgewählt. Diese Moden werden verwendet, um die Freiheitsgrade des Systems auf diese wichtigen Moden zu projizieren, wodurch das System vereinfacht wird. Die Bewegungsgleichungen des reduzierten Systems werden dann aufgestellt, indem die ausgewählten Moden genutzt werden. Das reduzierte Modell bildet dann die Grundlage für die dynamische Analyse in der Mehrkörpersimulationssoftware.[28]

In der Mehrkörpersimulation (MKS) ermöglicht der FEM-Ansatz eine hochdetaillierte Modellierung flexibler Körper, indem jedes Element und seine Verformungen präzise berechnet werden, was jedoch aufgrund der deutlich höheren Anzahl an Freiheitsgrade einen hohen Rechenaufwand erfordert[29]. Im Gegensatz dazu reduziert die modale Reduktion die Komplexität, indem nur die wichtigsten Schwingungsmoden des Systems berücksichtigt werden, was die Anzahl der Freiheitsgrade und damit den Rechenaufwand erheblich verringert. Während der FEM-Ansatz eine sehr hohe Genauigkeit bietet, insbesondere bei nichtlinearen Verformungen, ist die modale Reduktion effizienter, jedoch mit Einschränkungen bei extrem komplexen Problemen.[30]

Dank schneller Prozessoren und moderner Formulierungen des Gleichungssystems, wie der Verwendung von Relativkoordinaten[31], wird die direkte Integration von flexiblen Körpern immer beliebter. Der lineare Zusammenhang zwischen den Freiheitsgraden und der Rechenzeit in MKS-Programmen, die auf Relativkoordinaten basieren, begünstigt die Nutzung des FEM-Ansatzes. Bei MKS-Programmen, die auf absoluten Koordinaten basieren, steigt die Rechenzeit durch die Berücksichtigung flexibler Körper überproportional an. Dies liegt an der zusätzlichen Anzahl an Gleichungen, die durch die Freiheitsgrade berücksichtigt werden müssen. In solchen Fällen ist in der Regel die modale Reduktion die geeignetere Methode.

Anwendungsgebiete

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Kinematische Systeme sind Bestandteil unseres täglichen Lebens. Sie reichen von einfachen Pendeln bis zu kompletten Fahrzeugen. Mit der Mehrkörpersimulation kann der Bewegungsablauf solcher Systeme berechnet und analysiert werden. Die Simulation liefert Ergebnisse über Kräfte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kontakte der Körper.

Im Automobilbereich werden MKS-Systeme seit mehreren Jahren intensiv eingesetzt, z. B. zur Analyse von Fahrwerken. Hierfür gibt es besondere Erweiterungen der MKS-Programme. Ein weiteres Beispiel für den Einsatz der MKS ist die Analyse von Ladespielen bei Löffelbaggern. Es werden z. B. die dynamischen Belastungen in den Lagerpunkten berechnet. Das MKS-Modell kann zusätzlich durch die Integration des Hydrauliksystems erweitert werden. Kräfte für die Bewegung des Baggerarms werden dann aus der Hydrauliksimulation bereitgestellt. Die Integration einer FE-Analyse in das MKS-Modell ermöglicht eine Berechnung der Bauteilbelastungen während der Bewegung.

Beispiele für weitere Anwendungsgebiete:

Kommerzielle Software

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Es gibt verschiedene Arten von kommerzieller Software für die Mehrkörpersimulation wie z. B. Simcenter Motion von Siemens PLM, RecurDyn von FunctionBay, ThreeParticle/CAE von BECKER 3D, ADAMS von MSC Software bzw. durch den Unternehmenskauf jetzt ein Bestandteil von Hexagon, DS Simulia von Simpack bzw. durch den Unternehmenskauf jetzt ein Bestandteil von Dassault Systèmes.

Es gibt einige freie Pakete. Das vom Institut für Luft- und Raumfahrtwissenschaften und -technologien des Politecnico di Milano entwickelte MBdyn ist mit einigen Beispielen und einer Real-time-Version verfügbar.[38] FreeDyn ist eine Software aus Österreich, die auch mechatronische Module hat.[39]

  • Georg Rill, Thomas Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation, 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-06084-8 (eBook).
  • Christoph Woernle: Mehrkörpersysteme – Eine Einführung in die Kinematik und Dynamik von Systemen starrer Körper, 2. Auflage. Verlag Springer Vieweg, Berlin Heidelberg 2017, ISBN 978-3-642-15982-4 (eBook).
  • Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik 3 – Kinetik, 12. überarbeitete Auflage. Verlag Springer Vieweg, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-29529-4 (eBook).
  • Edda Eich-Soellner, Claus Führer: Numerical Methods in Multibody Dynamics in European Consortium for Mathematics in Industry. Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 1998, ISBN 978-3-663-09828-7 (eBook) (englisch).
  • Bernd Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics – A Differential-Algebraic Approach in Differential-Algebraic Equations Forum. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-35158-7 (eBook) (englisch).
  • Ahmed A. Shabana: Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Developments in Multibody Systems Dynamics Vol. 1, 1997, S. 189–222.
  • Sebastian von Hoerner: Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. I. In: Zeitschrift für Astrophysik. 50. Jahrgang, 1960, S. 184, bibcode:1960ZA.....50..184V.
  • Sebastian von Hoerner: Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. II. In: Zeitschrift für Astrophysik. 57. Jahrgang, 1963, S. 47, bibcode:1963ZA.....57...47V.

Einzelnachweise

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  1. Georg Rill, Thomas Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation: Vertieft in Matlab-Beispielen, Übungen und Anwendungen. 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16008-1, doi:10.1007/978-3-658-16009-8 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  2. Edda Eich-Soellner, Claus Führer: Numerical Methods in Multibody Dynamics (= European Consortium for Mathematics in Industry). Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1998, ISBN 978-3-663-09830-0, doi:10.1007/978-3-663-09828-7 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  3. Werner Schiehlen, Peter Eberhard: Technische Dynamik: Aktuelle Modellierungs- und Berechnungsmethoden auf einer gemeinsamen Basis. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2020, ISBN 978-3-658-31372-2, doi:10.1007/978-3-658-31373-9 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  4. Ahmed A. Shabana: Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Developments. In: Multibody System Dynamics. Band 1, Nr. 2, 1997, S. 189–222, doi:10.1023/A:1009773505418 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  5. Juhwan Choi, Han Sik Ryu, Jin Hwan Choi: Multi Flexible Body Dynamics Using Incremental Finite Element Formulation. ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dynamics, Warschau 2009.
  6. Georg Rill, Thomas Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation: Vertieft in Matlab-Beispielen, Übungen und Anwendungen. 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16008-1, doi:10.1007/978-3-658-16009-8 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  7. Bernd Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics: A Differential-Algebraic Approach. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-35157-0, doi:10.1007/978-3-642-35158-7 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  8. Daniel Siedl: Simulation des dynamischen Verhaltens von Werkzeugmaschinen während Verfahrbewegungen. In: Forschungsberichte IWB. Band 213. Utz Verlag, München 2008.
  9. Edda Eich-Soellner, Claus Führer: Numerical Methods in Multibody Dynamics (= European Consortium for Mathematics in Industry). Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1998, ISBN 978-3-663-09830-0, doi:10.1007/978-3-663-09828-7 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  10. Bernd Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics: A Differential-Algebraic Approach. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-35157-0, doi:10.1007/978-3-642-35158-7 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  11. Francisco Javier Funes, José Manuel Jiménez, José Ignacio Rodríguez, Javier García de Jalón: A New Sparse Solver for Kinematics Simulation of Multibody Systems in Natural Coordinates Based on Tearing Methods. American Society of Mechanical Engineers, 2001, ISBN 978-0-7918-8027-2, S. 167–176, doi:10.1115/DETC2001/VIB-21318 (asme.org [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  12. Georg Rill, Thomas Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation: Vertieft in Matlab-Beispielen, Übungen und Anwendungen. 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16008-1, doi:10.1007/978-3-658-16009-8 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  13. Daniel Siedl: Simulation des dynamischen Verhaltens von Werkzeugmaschinen während Verfahrbewegungen. In: Forschungsberichte IWB. Band 213. Utz Verlag, München 2008.
  14. MSC Software Corporation, Adams Solver Users Guide 2021.0.2, Newport Beach, 2021, abgerufen am 17. Mai 2024.
  15. FunctionBay Inc., RecurDyn Technical Documentation, Seoul, 2020, abgerufen am 17. Mai 2024.
  16. Hartmut Bremer, Friedrich Pfeiffer: Elastische Mehrkörpersysteme. Teubner-Studienbücher Mechanik. Vieweg & Teubner, Stuttgart 1992.
  17. Georg Rill, Thomas Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation: Vertieft in Matlab-Beispielen, Übungen und Anwendungen. 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16008-1, doi:10.1007/978-3-658-16009-8 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  18. Bernd Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics: A Differential-Algebraic Approach. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-35157-0, doi:10.1007/978-3-642-35158-7 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2024]).
  19. Graham Sanborn, Juhwan Choi, Joon Shik Yoon, Sungsoo Rhim, Jin Hwan Choi: Systematic Integration of Finite Element Methods Into Multibody Dynamics Considering Hyperelasticity and Plasticity. In: Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. Band 9, Nr. 4, 1. Oktober 2014, ISSN 1555-1415, doi:10.1115/1.4027580 (asme.org [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  20. Graham Sanborn, Juhwan Choi, Joon Shik Yoon, Sungsoo Rhim, Jin Hwan Choi: Systematic Integration of Finite Element Methods Into Multibody Dynamics Considering Hyperelasticity and Plasticity. In: Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. Band 9, Nr. 4. Busan 2014.
  21. Bernd Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics: A Differential-Algebraic Approach. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-35157-0, doi:10.1007/978-3-642-35158-7 (springer.com [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  22. Bernhard Burgermeister: Linear-implizite Zeitintegrationsverfahren für differentiell-algebraische Systeme in der Mehrkörperdynamik. VDI Verlag, Düsseldorf 2010.
  23. Graham Sanborn, Juhwan Choi, Jin Hwan Choi: Review of RecurDyn Integration Methods.The 3rd Joint International Conference on Multibody System Dynamics and the 7th Asian Conference on Multibody Dynamics. 30.06.-03.07.2024. In: The Korean Society of Mechanical Engineers (KSME). Busan 2014.
  24. Georg Rill, Thomas Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation: Vertieft in Matlab-Beispielen, Übungen und Anwendungen. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16008-1, doi:10.1007/978-3-658-16009-8 (springer.com [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  25. Bernd Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics: A Differential-Algebraic Approach. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-35157-0, doi:10.1007/978-3-642-35158-7 (springer.com [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  26. G. R. Cowper: The Shear Coefficient in Timoshenko’s Beam Theory. In: Journal of Applied Mechanics. Band 33, Nr. 2, 1. Juni 1966, ISSN 0021-8936, S. 335–340, doi:10.1115/1.3625046 (asme.org [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  27. Woschke, Daniel & Strackeljan: Reduktion elastischer Strukturen für MKS Anwendungen. Institut für Mechanik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg. Abgerufen am 23. November 2014.
  28. Michael Lehner, Peter Eberhard: Modellreduktion in elastischen Mehrkörpersystemen (Model Reduction in Flexible Multibody Systems). Band 54, Nr. 4, 1. April 2006, ISSN 2196-677X, S. 170–177, doi:10.1524/auto.2006.54.4.170 (degruyter.com [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  29. Ahmed A. Shabana, Lingmin Xu: Rotation-based finite elements: reference-configuration geometry and motion description. In: Acta Mechanica Sinica. Band 37, Nr. 1, 1. Januar 2021, ISSN 1614-3116, S. 105–126, doi:10.1007/s10409-020-01030-6 (10.1007/s10409-020-01030-6 [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  30. Krzysztof Swidergal, Christian Lubeseder, Ingo von Wurmb, Arnulf Lipp, Josef Meinhardt, Marcus Wagner, Steffen Marburg: Experimental and numerical investigation of blankholder’s vibration in a forming tool: a coupled MBS-FEM approach. In: Production Engineering. Band 9, Nr. 5-6, Dezember 2015, ISSN 0944-6524, S. 623–634, doi:10.1007/s11740-015-0640-9 (springer.com [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  31. A. Müller: A conservative elimination procedure for permanently redundant closure constraints in MBS-models with relative coordinates. In: Multibody System Dynamics. Band 16, Nr. 4, 13. Dezember 2006, ISSN 1384-5640, S. 309–330, doi:10.1007/s11044-006-9028-0 (springer.com [abgerufen am 24. Mai 2024]).
  32. Rajeevlochan Chittawadigi, Shivesh Kumar, Subir Kumar Saha: Realistic Modeling and Dynamic Simulation of KUKA KR5 Robot using RecurDyn. 2012, doi:10.13140/RG.2.1.5126.4720 (rgdoi.net [abgerufen am 21. Mai 2024]).
  33. Naman Chaudhary, Arpan Gupta: Multi-body Analysis for a Four-Bar Mechanism Using RecurDyn and MATLAB. In: Machines, Mechanism and Robotics. Springer Singapore, Singapore 2022, ISBN 978-981-16-0549-9, S. 1813–1823, doi:10.1007/978-981-16-0550-5_174 (springer.com [abgerufen am 23. Mai 2024]).
  34. Brant Ross, Nelson Woo, Joseph R. Blandino: Simulation of the Deployment of a Flexible Roll-Up Solar Array Using Multi-Body Dynamics Software. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2016, ISBN 978-1-62410-394-0, doi:10.2514/6.2016-1703 (aiaa.org [abgerufen am 3. Juni 2024]).
  35. FunctionBay GmbH: Revolutionizing SMT Assembly Lines: Real-world Dynamics vs. Simulation Insights. 3. April 2024, abgerufen am 3. Juni 2024.
  36. Durch Simulation die Bewegung optimieren. In: Industrie Anzeiger. Konradin-Verlag Robert Kohlhammer GmbH, 25. April 2010, abgerufen am 23. Mai 2024 (deutsch).
  37. Kun Hu, Yong Cun Guo: Virtual Prototyping of Belt Conveyor Based on Recurdyn. In: Applied Mechanics and Materials. Band 16-19, Oktober 2009, ISSN 1662-7482, S. 776–780, doi:10.4028/www.scientific.net/AMM.16-19.776 (scientific.net [abgerufen am 21. Mai 2024]).
  38. MBDyn. Abgerufen am 25. Juni 2021 (englisch).
  39. FreeDyn. Abgerufen am 25. Juni 2021 (englisch).