Pythagoreisches Quadrupel

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Alle vier primitiven pythagoreischen Quadrupel mit einstelligen Werten

Ein pythagoreisches Quadrupel[1] ist ein Tupel von ganzen Zahlen , so dass gilt:

.

Es handelt sich dabei um die Lösungen einer diophantischen Gleichung. Meistens werden aber nur positive ganze Zahlen als Lösungen betrachtet.[2]

Primitive pythagoreische Quadrupeln

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Ein pythagoreisches Quadrupel heißt primitives pythagoreisches Quadrupel, wenn die Werte positiv ganzzahlig sind und der größte gemeinsame Teiler der vier Werte gleich 1 ist (wenn also gilt). Jedes pythagoreische Quadrupel ist ein ganzzahliges Vielfaches eines primitiven pythagoreischen Quadrupels.

Beispiel 1:

Das Tupel ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil ist und gilt.

Beispiel 2:

Das Tupel ist kein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil ist, obwohl gilt.

Es gibt 31 primitive pythagoreische Quadrupel, bei denen alle Werte kleiner als 30 sind:

1 2 2 3
2 3 6 7
1 4 8 9
4 4 7 9
2 6 9 11
6 6 7 11
3 4 12 13
2 5 14 15
2 10 11 15
1 12 12 17
8 9 12 17
1 6 18 19
6 6 17 19
6 10 15 19
4 5 20 21
4 8 19 21
4 13 16 21
8 11 16 21
3 6 22 23
3 14 18 23
6 13 18 23
9 12 20 25
12 15 16 25
2 7 26 27
2 10 25 27
2 14 23 27
7 14 22 27
10 10 23 27
3 16 24 29
11 12 24 29
12 16 21 29

Aus diesen primitiven pythagoreischen Quadrupeln kann man beliebig viele weitere nicht-primitive pythagoreische Quadrupel bilden. Zum Beispiel kann man aus dem primitiven pythagoreischen Quadrupel durch Multiplikation mit die nicht-primitiven pythagoreischen Quadrupel , , etc. bilden.

Geometrische Deutung

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Ein pythagoreisches Quadrupel definiert einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen und (wobei mit der Betrag von gemeint ist). Die Raumdiagonale dieses Quaders hat dann eine ganzzahlige Länge . Pythagoreische Quadrupel heißen deswegen auf Englisch auch Pythagorean boxes.[3]

Eigenschaften von pythagoreischen Quadrupeln

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  • Das pythagoreische Quadrupel mit dem kleinsten Produkt ist .
  • Sei mit . Dann gilt:[4]
Das Produkt ist immer durch teilbar.
Eine größere Zahl, die dieses Produkt teilt, gibt es nicht, denn für das kleinste pythagoreische Quadrupel (also für ) gilt . Somit kann es keine größere Zahl geben, die das Produkt teilt.

Erzeugung von pythagoreischen Quadrupeln

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Seien positive ganze Zahlen. Dann kann die Menge der pythagoreischen Quadrupel mit ungeradem wie folgt erzeugt werden:
Gelten zusätzlich die folgenden elf Bedingungen, dann kann damit die Menge von primitiven pythagoreischen Quadrupeln mit ungeradem erzeugt werden.[6]
Alle primitiven pythagoreischen Quadrupel erfüllen somit die diophantische Gleichung , welche man auch Lebesguesche Identität nennt:[7][8]
Beispiel 1:
Sei und . Dann sind alle zusätzlichen Bedingungen erfüllt und es ist und und tatsächlich ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel.
Beispiel 2:
Sei und . Dann ist die zusätzliche Bedingung zwar nicht erfüllt, es ist aber und wegen trotzdem ein pythagoreisches Quadrupel, allerdings mit .
Beispiel 3:
Sei und . Dann ist und und tatsächlich ist . Allerdings ist dieses pythagoreische Quadrupel nicht primitiv, weil und die Bedingung ist.
  • Methode 2:
Alle pythagoreischen Quadrupel (inklusive der nicht-primitiven) können wie folgt aus zwei positiven ganzen Zahlen und erzeugt werden:
Sei die Parität von und verschieden (sei also entweder gerade und ungerade oder ungerade und gerade). Sei weiters ein Faktor von mit . Dann gilt:
und mit
Beispiel:
Sei und . Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt und es ist und (und es ist ) und tatsächlich ist .
Seien und gerade Zahlen. Sei außerdem ein Teiler von mit . Dann gilt:
und
Diese Methode erzeugt alle pythagoreischen Quadrupel exakt ein Mal, wenn und alle Paare natürlicher Zahlen durchlaufen und alle möglichen Werte für jedes Paar durchläuft.
Beispiel:
Sei und . Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt, , und es ist und und tatsächlich ist .
  • Es gibt kein pythagoreisches Quadrupel, bei dem mehr als eine der Zahlen , , ungerade ist.
  • Methode 4:
Sei eine positive ganze Zahl. Dann kann ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugt werden:
Beispiel:
Sei , und . dann ist , und tatsächlich ist .
  • Methode 5:
Seien drei positive ganze Zahlen. Dann lässt sich ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugen:
Beispiel:
Sei , und .

So ist , , und tatsächlich ein pythagoreisches Quadrupel, denn . Hierbei handelt es sich um das Doppelte des primitiven Quadrupels.

Einzelnachweise

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  1. Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoreisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.
  2. a b Robert Spira: The Diophantine Equation x2+y2+z2=m2. The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 360–365, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  3. Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan: Pythagorean Boxes. Mathematics Magazine 74 (3), Juni 2001, S. 222–227, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  4. Des MacHale, Christian van den Bosch: Generalising a result about Pythagorean triples. The Mathematical Gazette 96 (535), März 2012, S. 91–96, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  5. Paul Oliverio: Self-Generating Pythagorean Quadruples and n-Tuples. Jefferson High School, Los Angeles, Dezember 1993, S. 98–101, abgerufen am 18. Oktober 2019.
  6. Robert Spira: The Diophantine Equation x2+y2+z2=m2, Theorem 2. The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 362, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  7. Pythagorean Quadruple. GeeksforGeeks - A computer science portal for geeks, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  8. Eric W. Weisstein: Lebesgue Identity. Wolfram MathWorld, abgerufen am 18. Oktober 2019.
  9. Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, Theorem 2.2.3. Birkhäuser, S. 79, abgerufen am 18. Oktober 2019.