Multivariate Gammafunktion

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Die Multivariate Gammafunktion ist die Verallgemeinerung der Gammafunktion. Sie findet Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen und der multivariaten Statistik, da sie unter anderem in der Wishart-Verteilung und der matrixvariaten Beta-Verteilung auftaucht. Sie wird als notiert.[1]

Sei der Raum der symmetrischen, positiv definiten reellen -Matrizen. Die multivariate Gammafunktion ist definiert als die Funktion

für ; hierin ist bezüglich aller nichtunteren Dreieckseinträge (d. h. oberer Dreieckseinträge samt Hauptdiagonaleinträgen) des Argumentes zu integrieren, da .

Für Berechnungen eignet sich folgender Satz:

  • Sei , dann gilt

Beweis-Idee: Teile , wobei eine untere Dreiecksmatrix ist. Nutze den Transformationssatz mit der Funktionaldeterminante

.
  • Rekursion:

Somit:

Verallgemeinerungen

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Die verallgemeinerte multivariate Gammafunktion ist definiert als

mit und .

Die multivariate Digamma-Funktion:

und die Verallgemeinerung als multivariate Polygammafunktion:

  1. A. K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 18.