Nabla-Operator

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Der Nabla-Operator ist ein Symbol, das in der Vektor- und Tensoranalysis benutzt wird, um kontextabhängig einen der drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz oder Rotation zu notieren. Das Formelzeichen des Operators ist das Nabla-Symbol (auch oder , um die formale Ähnlichkeit zu üblichen vektoriellen Größen zu betonen).

Der Name „Nabla“ leitet sich ab von einem harfen­ähnlichen phönizischen[1] Saiteninstrument, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte. Die Schreibweise wurde von William Rowan Hamilton (1805–1865) eingeführt und vom Mathematiker Peter Guthrie Tait (1831–1901) weiterentwickelt.[2] Im Englischen wird der Operator als „del“ bezeichnet.[3]

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren sind:

Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor (zum Beispiel grad) als auch als Zeilen-Vektor (zum Beispiel div) auftreten.[4] Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schreibt man auch:

Dabei sind , und die Einheitsvektoren des Koordinatensystems. In allgemein krummlinigen Koordinaten sind die Einheitsvektoren durch die kontravarianten Basisvektoren zu ersetzen:

Darin ist der Gradientenoperator. Bei der Anwendung dieses Nabla-Operators auf ein Vektorfeld ist zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen von den Koordinaten abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von beispielsweise mit einer rechts davon stehenden Funktion als partielle Ableitung interpretiert wird.

Darstellung anderer Differentialoperatoren

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Im n-dimensionalen Raum

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Sei eine offene Teilmenge, eine differenzierbare Funktion und ein differenzierbares Vektorfeld. Das hochgestellte bezeichnet die Transposition.

Das (formale) Produkt von mit der Funktion ergibt deren Gradienten:

Das transponierte (formale) dyadische Produkt“ von mit dem Vektorfeld ergibt dessen Gradienten oder Jacobi-Matrix:

Das (formale) Skalarprodukt mit dem Vektorfeld ergibt dessen Divergenz:

Sie ist die Spur des Gradienten.

Laplace-Operator

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Das (formale) Skalarprodukt von mit sich selbst ergibt den Laplace-Operator , denn es gilt

Manche Autoren verwenden das Symbol oder auch für die Hesse-Matrix, deshalb sollte immer der Kontext angegeben werden.

Richtungsableitung

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Bei einem gegebenen Vektor kann mit dem Operator

die Richtungsableitung von differenzierbaren Funktionen in Richtung des Vektors berechnet werden:

siehe den Zusammenhang zwischen Gradient und Richtungsableitung. Ist die Funktion ein Vektorfeld , dann berechnet sich das Produkt aus der Jacobi-Matrix des Feldes und dem Vektor:

siehe Vektorgradient und die Anwendung in der Kontinuumsmechanik unten.

Im dreidimensionalen Raum

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Sei nun eine offene Teilmenge, eine differenzierbare Funktion und ein differenzierbares Vektorfeld. Die Indizes …x,y,z bezeichnen hier die Vektorkomponenten und keine Ableitungen. Im dreidimensionalen Raum mit den kartesischen Koordinaten , , stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

Der Nabla-Operator angewandt auf das Skalarfeld ergibt den Gradienten des Skalarfeldes

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind die Einheitsvektoren des .

Der Nabla-Operator angewandt auf das Vektorfeld ergibt die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

also ein Skalarfeld.

Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als

also wieder ein Vektorfeld.

Zylinderkoordinaten (ρ,φ,z) und Kugelkoordinaten (r,θ,φ) sind Beispiele für krummlinige Koordinaten. Die Formeln für den Gradient in Zylinder- und Kugelkoordinaten ergeben sich aus den Nabla-Operatoren

Bei der Anwendung auf ein Vektorfeld ist wie oben erwähnt zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen wie auch hier von den Koordinaten abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind. Beispielsweise ergibt sich für die Divergenz eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten, wo die Basisvektoren und vom Winkel φ abhängen und gilt:

Notation mit Subskript

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Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion mit beispielsweise ist

im Gegensatz zu

Diese Bezeichnung ist üblich, wenn mit dem Nabla-Symbol das einfache Differential (d. h. die einzeilige Jacobi-Matrix) bzw. ein Teil davon bezeichnet wird.

Gelegentlich tritt alternativ für die Schreibweise mit dem Nabla-Symbol die Schreibweise auf.[5]

Darstellung als Quaternion

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Sir William Rowan Hamilton[6] definierte den Nabla-Operator als reine Quaternion

mit den komplex-imaginären Einheiten , und , die durch die Hamilton-Regeln nicht kommutativ verknüpft sind. Beispielsweise gilt .

Anwendung auf eine reellwertige Funktion (formale Multiplikation) liefert die quaternionische Entsprechung für deren Gradient und Laplace-Ableitung:

Anwendung auf eine reine Quaternion (formale Multiplikation) liefert:

Die hier benutzten Definitionen des Skalarprodukts und Kreuzprodukts von Quaternionen sind im Hauptartikel nachzuschlagen.

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind und differenzierbare Skalarfelder (Funktionen) und sowie differenzierbare Vektorfelder, so gilt:

(Kettenregel für Gradient)
(Produktregel für Gradient)
(siehe auch Laplace-Operator)
(siehe auch vektorieller Laplace-Operator)

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradient, Divergenz und Rotation.

Anwendung in der Kontinuumsmechanik

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In der Kontinuumsmechanik wird der Nabla-Operator dazu verwendet, zusätzlich zu den oben genannten Operatoren den Gradient eines Vektorfeldes und die Divergenz sowie Rotation eines Tensorfeldes zu definieren. Hier kann der Nabla-Operator gelegentlich auch nach links wirken.[7]

Die Darstellung erfolgt wegen der Wichtigkeit der Rotation für die Kontinuumsmechanik in drei Dimensionen. Sei also eine offene Teilmenge, ein differenzierbares Vektorfeld mit Komponenten Vx,y,z, die wie üblich nach dem Schema x→1, y→2 und z→3 durchnummeriert werden, und ein differenzierbares Tensorfeld zweiter Stufe mit Komponenten bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems.

Das transponierte dyadische Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld ergibt – wie oben dargelegt – den Gradient eines Vektorfeldes

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Der so definierte Gradient stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein:

und nähert das Vektorfeld in der Nähe eines Punktes linear an:

wenn

Das Landau-Symbol 𝓞(x) stellt eine Größe dar, die langsamer wächst als ihr Argument x.

Das linksseitige Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem transponierten Tensorfeld zweiter Stufe ergibt formal die Divergenz des Tensorfeldes:[8]

also ein Vektorfeld. Sie entspricht der Definition

.

Es wird auch die nicht-transponierte Version benutzt, , die bei symmetrischen Tensoren zum selben Ergebnis führt.

Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem transponierten Tensor zweiter Stufe liefert dessen Rotation:[8]

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Darin ist ϵijk = (êi × êj) · êk das Permutationssymbol. Obige Form der Rotation entspricht der Definition

Es wird auch die Form ohne Transposition benutzt, , die bei symmetrischen Tensoren zum selben Ergebnis führt.

Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. K. E. Georges: Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch. Hrsg.: Karl-Maria Guth. 1. Auflage. Band 4 (M–Q). Hofenberg, Berlin 2014, ISBN 978-3-8430-4923-8 (Vollständige Neuausgabe der 8. Auflage von 1913).
  2. Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 352, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
  3. Eric Weisstein: Del. In: MathWorld (englisch).
  4. Zeilen- und Spaltenvektoren werden in der Differentialgeometrie und im mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie auch als kovariant beziehungsweise kontravariant bezeichnet. Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt.
  5. Jürgen Schnakenberg: Elektrodynamik. John Wiley & Sons, 2003, ISBN 3-527-40369-8, S. 31 ff., (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Band 1 Grundwissen und Mathematik. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 978-3-540-12666-9, doi:10.1007/978-3-642-96783-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  7. P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. 2. Auflage. Springer, 2002, ISBN 978-3-540-43111-4 (englisch).
  8. a b C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.
  • Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).
  • Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3-540-55530-7 (Enthält nur die grundlegende Definition.).
  • Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).
  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5 (siehe Abschnitt 2.3 Tensoranalysis).