Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.[1]
Beispiel:
- Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also
.
Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle,
z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.
Sind
alle Teiler der natürlichen Zahl
, so nennt man
die Teilersumme von
. Dabei sind 1 und
selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion
heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.
Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:
.
Die Summe
der echten Teiler der natürlichen Zahl
ist die Summe der Teiler von
ohne die Zahl
selbst.
Beispiel:
.
Es gilt die Beziehung
.
Eine natürliche Zahl
heißt
- defizient oder teilerarm, wenn
,
- abundant oder teilerreich, wenn
,
- vollkommen, wenn
.[2]
Beispiele:
, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
, d. h. 12 ist abundant.
, d. h. 10 ist defizient.
Für jede Primzahl
gilt
.
Beweis: Per Definition hat
nur die Teiler
und
. Daraus folgt die Behauptung.
Sei
eine Primzahl und
. Dann gilt für die Potenz
:
.
Beweis: Da
eine Primzahl ist, hat
nur die Teiler
. Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.
Beispiel:
![{\displaystyle \sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af5aa031c5c61b979f1198aab1e8dafb4ff224f)
![{\displaystyle \sigma (8)=1+2+4+8=15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b5462e2e0cd84d29fe224d6a37bd6275ecdcbb)
Seien
und
verschiedene Primzahlen. Dann gilt
.
Beweis: Die Zahl
besitzt genau die Teiler
und
. Daraus folgt
.
Beispiel:
![{\displaystyle \sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84158b3ac31f3580fdb2cd9ad5cfcdf72cad9067)
![{\displaystyle \sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c381067bd3b9a2cd1fdde48bb22e9ec6ee23f1af)
Sind
und
teilerfremde Zahlen, so gilt
.[3]
Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.
Beispiel:
![{\displaystyle \sigma (4\cdot 9)=\sigma (36)=1+2+3+4+6+9+12+18+36=91}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9980f64ab4673e49adb80e71761c550cbd0ba0da)
![{\displaystyle \sigma (4)\cdot \sigma (9)=(1+2+4)\cdot (1+3+9)=7\cdot 13=91}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d88583e069621ee644b723a7a09db3d128d890)
Sei
mit der Primfaktorzerlegung
. Dann gilt
.[4]
Beispiel:
![{\displaystyle \sigma (84)=\sigma (2^{2}\cdot 3\cdot 7)={\frac {2^{3}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}\cdot {\frac {7^{2}-1}{7-1}}=7\cdot 4\cdot 8=224.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f177e11a1f8b11579827860816bd6744045973b2)
Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:
Für eine natürliche Zahl
seien
und
.
Wenn
,
und
Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen
und
befreundet, d. h.
und
.
- Beweis
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dd0ba4046e253c6b2d91ffd051f917b6103a1d)
Analog zeigt man
.
Für jede natürliche Zahl
kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften
von
explizit Bezug genommen wird:
![{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\mu =1}^{n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060bd4e739ef88789d05ecf88a7fb15145b51832)
Beweis:
Die Funktion
![{\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326b9777f033b275b026329ab27c2dd0165f3ded)
wird 1, wenn
ein Teiler von
ist, ansonsten bleibt sie Null.
Sei nämlich
ein Teiler von
. Dann ist der Quotient
ganzzahlig, somit ist
gleich 1. Die Summation über
ergibt
, woraus
folgt.
Sei nun
kein Teiler von
.
Es gilt dann
![{\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}={\frac {1}{\mu }}{\frac {\sin \pi n\cos {\frac {\pi (\mu +1)n}{\mu }}}{\sin {\frac {\pi n}{\mu }}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa04def893c001c70cd0d8efe103bf2bdeabc33c)
Damit ist gezeigt, dass
genau dann gleich 1 ist, wenn
ein Teiler von
ist, und ansonsten verschwindet.
Multipliziert man jetzt
mit
und summiert das Produkt über alle Werte
bis
, so entsteht nur dann ein Beitrag
zur Summe, wenn
ein Teiler von
ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion
![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{k-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e0455460e9a116d881d21e79fc7843d3d92fdd)
deren Spezialfall
die einfache Teilersumme
ist.
- Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
- József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.
- József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.
- Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.
- Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.
- ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.