Verteilungsklasse

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Als Verteilungsklasse oder Verteilungsfamilie (auch Klasse von Verteilungen oder Familie von Verteilungen) wird in der Stochastik und der Statistik eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen verstanden, die sich durch eine gemeinsame, mehr oder weniger abstrakte Eigenschaft auszeichnen. Die Einschränkung auf solche Eigenschaften ermöglicht es häufig, mit der zusätzlich verfügbaren Struktur stärkere Aussagen zu zeigen. Ein Beispiel hierfür ist die Cramér-Rao-Ungleichung; bei ihr liefert die Einschränkung auf die Exponentialfamilie eine scharfe Abschätzung.

Der Begriff der Verteilungsklasse bzw. Verteilungsfamilie/Familie von Verteilungen wird in der Literatur nicht einheitlich oder in unterschiedlicher Ausprägung verwendet.

Dabei ist die erste Bedeutung sehr weit gefasst, die zweite sehr eng. Meist wird die dritte Bedeutung verwendet.

Wichtige Verteilungsklassen

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Folgend sind einige wichtige Verteilungsklassen aufgezählt und beschrieben. Dabei sind die Definitionen mancher Verteilungsklassen rein wahrscheinlichkeitstheoretisch motiviert, andere werden überwiegend in der mathematischen Statistik angewandt. Ebenso gibt es Verteilungsklassen, die in beiden Themengebieten Anwendung finden.

für bestimmte Definitionsbereiche von ist.[6][7] Sie bilden eine große Familie von Verteilungen in der als Teilfamilien z. B. die Normalverteilungen (für , , , ), die Exponentialverteilungen, die Chi-Quadrat-Verteilungen, die F-Verteilungen, die Gammaverteilungen und die t-Verteilungen enthalten sind.[6]

Des Weiteren gibt es beispielsweise noch alpha-stabile Verteilungen oder unendlich teilbare Verteilungen.

Einzelnachweise

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  1. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 455.
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 300.
  3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 143.
  4. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 53.
  5. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 59.
  6. a b Pearsonsche Verteilungen. In: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 295.
  7. Horst Rinne: 3.13.8 PEARSON's–Verteilungssystem. In: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 394–395.