Divisionssatz von Weierstraß

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Der weierstraßsche Divisionssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Der Satz erlaubt eine Division mit Rest bezüglich eines Weierstraß-Polynoms.

Einführung und Formulierung des Satzes

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Es bezeichne den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0. Jedes kann mittels der Festlegung als Element von aufgefasst werden. Insbesondere ist der Polynomring in enthalten. Daher kann man vom Polynomgrad sprechen. Das gilt insbesondere für Weierstraß-Polynome, das heißt Polynome der Form

mit konvergenten Potenzreihen , die in verschwinden.

Mit diesen Begriffen gilt der folgende sogenannte weierstraßsche Divisionssatz[1]

  • Es sei ein Weierstraß-Polynom vom Grad . Dann hat jedes eine eindeutige Darstellung als
  mit   , , .
Ist , so ist auch .

Die Potenzreihen und konvergieren beide auf einem geeigneten Polykreis . Da ein Weierstraß-Polynom ist, kann man finden, so dass für alle und . Auf definiert man dann die Funktionen

,

von denen man dann zeigen kann, dass sie die behauptete eindeutige Darstellung liefern.

Für ist das Weierstraß-Polynom notwendig das normierte Monom und für jedes erhält man die einfache Beziehung

.

Daher ist obiger Satz erst für nicht-trivial.

Variante für reguläre Potenzreihen

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Eine Potenzreihe heißt in regulär von der Ordnung , falls die holomorphe Funktion eine Nullstelle der Ordnung hat. Für ein Weierstraß-Polynome des Grades gilt , das heißt Weierstraß-Polynome haben diese Regularitätseigenschaft. Daher ist folgende Variante des weierstraßschen Divisionssatzes allgemeiner:

  • Es sei in regulär von der Ordnung . Dann hat jedes eine eindeutige Darstellung als
  mit   , , .
Ist , so ist auch .

Das folgt leicht aus der oben gegebenen Version, denn nach dem weierstraßschen Vorbereitungssatz kann man mit einer Einheit und einem Weierstraß-Polynom schreiben. Nach obiger Version des Divisionssatzes gibt es eindeutig bestimmte , , , so dass . Dann ist eine Divisionszerlegung der gewünschten Art.

Beziehung zum Vorbereitungssatz

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Aus der zweiten Version, in die ja der Vorbereitungssatz eingeflossen ist, kann man letzteren leicht wieder zurückgewinnen. Ist nämlich regulär in von der Ordnung , so gibt es nach obigem Satz , , mit . Wertet man diese Gleichung in aus, so folgt

.

Also müssen alle verschwinden und muss zur Erhaltung der Nullstellenordnung eine Einheit sein. Daher ist ein Produkt aus einer Einheit und einem Weierstraß-Polynom, was die Herleitung des weierstraßschen Vorbereitungssatzes aus obiger Version des Divisionssatzes beendet.[2]

Der weierstraßsche Divisionssatz ermöglicht zusammen mit dem weierstraßschen Vorbereitungssatz den Beweis wichtiger Eigenschaften der lokalen Integritätsringe :

Variante für Funktionen

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Die bisherigen Versionen des Divisionssatzes behandeln konvergente Potenzreihen um 0, das heißt Keime holomorpher Funktionen um 0. Im Folgenden soll eine Variante für Funktionen vorgestellt werden, die in Umgebungen eines festen kompakten Polykreises definiert sind, wobei für den Abschluss des Polykreises steht. bezeichne den Ring der Keime holomorpher Funktionen um , das heißt die Menge aller in einer offenen Umgebung von definierten holomorphen Funktionen, wobei zwei solche Funktionen identifiziert werden, wenn sie auf einer gemeinsamen offenen Umgebung von übereinstimmen. Da nicht-leeres Inneres hat, ist jedes wegen des Identitätsatzes schon durch seine Werte auf bestimmt, das heißt man hat es mit echten Funktionen zu tun, und definiert eine Norm auf . Um dieselbe Beweisidee wie oben verwenden zu können, muss der erste Teil dieser Beweisidee in die Voraussetzungen des Satzes aufgenommen werden. Das erklärt die nachfolgende Formulierung:[7]

  • Es sei ein kompakter Polykreis, . Sei weiter derart, dass der Funktionskeim von in 0 ein Weierstraß-Polynom vom Grad bzgl. ist und für jedes sämtliche Lösungen von die Bedingung erfüllen. Dann gibt es eine Konstante , so dass Folgendes gilt:
Jedes hat eine eindeutige Darstellung
mit ,  
und ,   ,  

Wie bereits erwähnt, funktioniert die oben vorgestellte Beweisidee. Zusätzliche Arbeit entsteht für die Ermittlung der nur von und abhängigen Konstanten .

Einzelnachweise

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  1. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.B, Theorem 3 (Weierstrass Division Theorem)
  2. Behnke, Thullen: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher. Springer-Verlag, 1970, ISBN 3-642-62005-1, S. 104, Anhang zu Kap. V, §1: Der Vorbereitungssatz
  3. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.B, Theorem 7.
  4. Jörg Eschmeier:,Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55541-5, Korollar 4.20.
  5. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.B, Theorem 9.
  6. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.C, Theorem 2.
  7. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.D, Theorem 1. (Extended Weierstrass Division Theorem)