Konische Spirale

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Konische Spirale mit archimedischer Spirale als Grundriss
Grundriss: fermatsche Spirale
Grundriss: logarithmische Spirale
Grundriss: hyperbolische Spirale

Eine konische Spirale ist eine Kurve auf einem senkrechten Kreiskegel, deren Grundriss eine ebene Spirale ist. Ist der Grundriss eine logarithmische Spirale, so nennt man sie Concho-Spirale, abgeleitet von Conch (Wasserschnecke).

Wie die logarithmische Spirale selbst spielt auch die mit ihr konstruierte Concho-Spirale in der Biologie bei der Modellierung von Schneckenhäusern, beim Insektenflug[1][2] und in der Technik bei der Konstruktion von breitbandigen Antennen[3][4] eine Rolle.

Parameterdarstellung

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Ist in der --Ebene durch die Parameterdarstellung

eine ebene Spirale gegeben, so kann man eine dritte Koordinate so anfügen, dass die dadurch entstehende räumliche Kurve auf dem senkrechten Kreiskegel mit der Gleichung liegt:

Kurven dieser Art heißen konische Spiralen und die zur Konstruktion benutzte ebene Spirale ist ihr Grundriss.[5] Sie waren schon Pappos bekannt.

Der Parameter ist die Steigung der Kegelgeraden gegenüber der --Ebene.

Die konische Spirale kann man auch als orthogonale Projektion der Grundriss-Spirale auf den Kegelmantel ansehen.

Beispiele
1) Geht man von einer archimedischen Spirale aus, erhält man die konische Spirale (siehe Bild)
In diesem Fall kann man die konische Spirale auch als Schnittkurve eines Kegels und einer Wendelfläche auffassen.
2) Das zweite Bild zeigt eine konische Spirale mit einer fermatschen Spirale als Grundriss.
3) Das dritte Beispiel hat eine logarithmische Spirale als Grundriss. Sie zeichnet sich durch eine konstante Steigung aus (s. unten).
4) In diesem Beispiel ist der Grundriss eine hyperbolische Spirale . Sie besitzt eine Asymptote (schwarze Gerade). Diese Asymptote ist der Grundriss einer Hyperbel (lila), an die sich die konische Spirale für annähert.

Im Folgenden werden Eigenschaften konischer Spiralen mit Grundrissen der Form bzw. angegeben:

Steigungswinkel in einem Punkt einer konischen Spirale

Unter der Steigung einer konischen Spirale versteht man die Steigung der Spirale (Tangente) gegenüber der Horizontalen (--Ebene). Der zugehörige Steigungswinkel ist (s. Bild):

Für eine Spirale mit ergibt sich:

Für eine archimedische Spirale ist und damit die Steigung

  • Für eine logarithmische Spirale mit ist ( ).

Eine Concho-Spirale heißt deswegen auch gleichwinklige konische Spirale.

Die Länge eines Kurvenbogens einer konischen Spirale ist

Für eine archimedische Spirale ist das auftretende Integral, wie im ebenen Fall, mit Hilfe einer Integrationstabelle lösbar.

Für eine logarithmische Spirale lässt sich das Integral leicht lösen:

In anderen Fällen können elliptische Integrale auftreten.

Abwicklung (grün) einer konischen Spirale (rot), rechts: Seitenansicht. Die Abwicklungsebene ist . Sie berührt anfangs den Kegel in der lila Geraden.

Für die Abwicklung einer konischen Spirale[6] müssen der Abstand eines Kurvenpunktes von der Kegelspitze und die Beziehung zwischen dem Winkel und dem Winkel in der Abwicklung bestimmt werden:

Die Polardarstellung der abgewickelten konischen Spirale ist also:

Die Abwicklung im Fall ist in Polardarstellung die Kurve

eine Spirale vom gleichen Typ. Speziell:

  • Ist der Grundriss einer konischen Spirale eine archimedische Spirale, so ist die Abwicklung auch eine archimedische Spirale.
Bei einer hyperbolischen Spirale () ist die Abwicklung sogar zum Grundriss kongruent.

Im Fall einer logarithmischen Spirale mit ist die Abwicklung die logarithmische Spirale

Konische Spirale mit hyperbolischer Spirale als Grundriss: Tangentenspur (lila Kreis). Die schwarze Gerade ist die Asymptote der hyperbolischen Spirale.

Der Schnitt der Tangenten einer konischen Spirale mit der --Ebene (Ebene durch die Kegelspitze) nennt man Tangentenspur.

Für die konische Spirale

ist der Tangentenvektor

und die Tangente:

Der Schnittpunkt der Tangente mit der --Ebene hat den Parameter und ist

Für ist und die Tangentenspur wieder eine Spirale, die allerdings im Fall (hyperbolische Spirale) zu einem Kreis mit Radius entartet (siehe Bild). Für ist und die Spur wieder eine zur gegebenen logarithmischen Spirale kongruente Spirale (wegen Selbstähnlichkeit einer logarithmischen Spirale).

Schalen von zwei verschiedenen Meeresschneckenarten: links eine linksgewundene Schale Neptunea angulata, rechts eine rechtsgewundene Schale Neptunea despecta

Einzelnachweise

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  1. New Scientist
  2. Conchospirals in the Flight of Insects
  3. John D. Dyson: The Equiangular Spiral Antenna. In: IRE Transactions on Antennas and Propagation. Vol. 7, 1959, S. 181–187.
  4. T. A. Kozlovskaya: The Concho-Spiral on the Cone. Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 11:2 (2011), 65–76.
  5. Siegmund Günther, Anton Edler von Braunmühl, Heinrich Wieleitner: Geschichte der mathematik. G. J. Göschen, 1921, S. 92.
  6. Theodor Schmid: Darstellende Geometrie. Band 2, Vereinigung wissenschaftlichen Verleger, 1921, S. 229.