Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen als benachbart oder englisch contiguous bezeichnet, wenn sie asymptotisch denselben Träger haben. Somit erweitert der Begriff der Kontiguität (auch Benachbartheit oder englisch contiguity) den Begriff der absoluten Stetigkeit von Maßen.[1]

Das Konzept wurde ursprünglich von Lucien Le Cam 1960 im Rahmen seiner Beiträge zur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.[2]

Der Satz von Radon-Nikodým verallgemeinert die Ableitung einer Funktion auf Maße:

Für ein σ-endliches Maß auf dem Messraum und ein σ-endliches signiertes Maß , das absolut stetig bezüglich ist (), existiert eine messbare Funktion , so dass

für alle gilt.

In der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie werden statt konstanten Maßen ( und ) Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und untersucht. Um den obigen Satz für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu definieren, muss der Begriff der absoluten Stetigkeit mit dem Konzept der Kontiguität für diese Folgen verallgemeinert werden.

Man nennt ein Maß bezüglich absolut stetig (in Symbolen ), falls für jede messbare Menge , impliziert, dass gilt. Während absolute Stetigkeit fordert, dass der Träger eines Maßes im Träger eines weiteren Maßes enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: Der Träger von ist für große im Träger von enthalten.

Es sei eine Folge von Messräumen, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen und ausgestattet.

  • Die Folge heißt benachbart zu (in Symbolen ), falls für jede Folge von messbaren Mengen, impliziert, dass .
  • Die Folgen und heißen wechselseitig benachbart oder englisch bi-contiguous (in Symbolen ), falls benachbart zu und benachbart zu .[3]
  • Im Fall für alle gilt: .[4]
  • Es ist möglich, dass für alle gilt, ohne dass ist.[5]

Le Cams erstes Lemma

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Für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen sind folgende Aussagen equivalent:[6][7][8]

  • für alle Teststatistiken

wobei und Zufallsvariablen auf den Wahrscheinlichkeitsräumen sind.

Die Notation bezeichnet die Konvergenz in Verteilung.

Le Cams drittes Lemma

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Das dritte Lemma von Le Cam ist eine Version des Satzes von Radon-Nikodým, in dem die absolute Stetigkeit durch Kontiguität ersetzt wird. Es wird wie folgt formuliert:[9]

Theorem

Sei mit den zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen und eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte .
Dann definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf mit für jede messbare Funktion und es gilt .

Für die Konvergenz gegen die mehrdimensionale Normalverteilung folgt daraus folgendes Korollar:

Korollar

Seien Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen , und sei eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte

Dann gilt: .

Einzelnachweise

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  1. Wolfowitz J. (1974) Review of the book: "Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics. by George G. Roussas", Journal of the American Statistical Association, 69, 278–279 jstor
  2. Aad van der Vaart: The statistical work of Lucien Le Cam. In: The Annals of Statistics. Band 30, Nr. 3, 1. Juni 2002, ISSN 0090-5364, doi:10.1214/aos/1028674836 (projecteuclid.org [abgerufen am 1. Mai 2021]).
  3. van der Vaart (1998, S. 87)
  4. Reiß, Bemerkung 4.35
  5. Bartlett, S. 12
  6. Gutti Jogesh Babu und Bing Li: A Revisit to Le Cam’s First Lemma. In: The Indian Journal of Statistics. Pennsylvania State University, 26. Februar 2020, abgerufen am 10. Januar 2022.
  7. Reiß, Lemma 4.36
  8. Lucien M. Le Cam: Asymptotic methods in statistical decision theory. Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-96307-3 (OCLC=13457116 [abgerufen am 1. Mai 2021]).
  9. Bartlett, S. 20
  10. Bas Werker: Advanced topics in Financial Econometrics. (PDF; 478 kB) Archiviert vom Original am 30. April 2006; abgerufen am 4. März 2024 (englisch).