Konvergente Mengenfolge

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Eine konvergente Mengenfolge ist eine Mengenfolge, für die der Limes superior und der Limes inferior der Mengenfolge übereinstimmen. Konvergente Mengenfolgen treten beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie auf.

Gegeben sei eine Mengenfolge aus einer Grundmenge . Der Limes superior der Mengenfolge

ist die Menge aller Elemente aus , die in unendlich vielen liegen. Der Limes inferior der Mengenfolge

ist die Menge aller Elemente aus , die in fast allen (d. h. in allen bis auf endlich vielen) liegen.

Die Mengenfolge heißt dann konvergent, wenn ihr Limes inferior und ihr Limes superior übereinstimmen, also

ist.

heißt dann der Limes der Mengenfolge oder Grenzwert der Mengenfolge. Man sagt dann, dass die Mengenfolge gegen konvergiert.

Als Beispiel betrachten wir die Mengenfolge

.

Für beliebiges ist immer

.

Somit ist

.

Somit stimmen Limes superior und Limes Inferior nicht überein, die Mengenfolge konvergiert also nicht.

Konvergenz monotoner Mengenfolgen

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Monoton fallende Mengenfolgen, also solche mit und monoton wachsende Mengenfolgen, also solche mit , konvergieren immer. Eine Mengenfolge konvergiert gegen

,

wenn sie monoton fallend ist, und gegen

,

wenn sie monoton wachsend ist. Ist der Grenzwert einer monoton fallende Folge, so schreibt man auch . Ist der Grenzwert einer monoton wachsenden Folge, so schreibt man auch .