Lokal minimaler Schätzer

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Ein lokal minimaler Schätzer, auch lokal optimaler Schätzer genannt, ist ein spezieller erwartungstreuer Punktschätzer in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Lokal minimale Schätzer streuen für ein vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß weniger als alle anderen Schätzer, heißt ihre Varianz ist minimal. Somit sind lokal minimale Schätzer eine Abschwächung von gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzern, die bezüglich einer ganzen Klasse von Wahrscheinlichkeitsmaßen weniger streuen als alle anderen Schätzer.

Gegeben sei ein statistisches Modell sowie eine zu schätzende Parameterfunktion

.

Sei die Menge der erwartungstreuen Schätzer für und

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für mit endlicher Varianz bezüglich , wobei ist.

Dann heißt ein Schätzer lokal minimal in oder lokal optimal in , wenn für alle weiteren gilt, dass

ist.

Kovarianzmethode

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Die Kovarianzmethode liefert eine Möglichkeit, mittels der Kovarianz lokal minimale Schätzer zu konstruieren oder für einen gegebenen Schätzer zu überprüfen, ob er lokal minimal ist. Es bezeichne hierzu die Menge aller Null-Schätzer und die Menge aller Null-Schätzer mit endlicher Varianz bezüglich .

Ist dann ein gegeben, so ist genau dann lokal minimal in , wenn für alle gilt, dass

ist.

Allgemeiner lässt sich die Kovarianzmethode auf jeden linearen Unterraum der Schätzfunktionen anwenden. Ist also solch ein linerear Unterraum, so gilt für ein die Aussage

,

genau dann, wenn lokal minimal in für ist.

Existenz und Eindeutigkeit

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Existenzaussagen für lokal minimale Schätzer beruhen meist auf funktionalanalytischen Konzepten. Die lokal minimalen Schätzer entsprechen genau den Minima des Funktionals, das durch

definiert wird. Eine Existenzaussage liefert beispielsweise der Fundamentalsatz der Variationsrechnung. Etwas konkreter lässt sich schlussfolgern: Wird von dominiert, sind alle Dichtefunktionen aus (siehe Lp-Raum) und ist , so existiert ein Schätzer , der lokal minimal in ist.

Die Kovarianzmethode liefert die Eindeutigkeit eines lokal minimalen Schätzers: Existiert ein lokal minimaler Schätzer in , so ist dieser -fast sicher eindeutig bestimmt.

Wichtige Aussagen

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Neben den Aussagen für gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer, die auch entsprechend punktweise, also für lokal minimale Schätzer gelten, sind folgende Aussagen wichtig:

  • Satz von Barankin und Stein: Er charakterisiert die lokal minimalen Schätzer über den Abschluss der Linearkombinationen der Dichtefunktionen der beteiligten Wahrscheinlichkeitsmaße.
  • Chapman-Robbins-Ungleichung: Sie erlaubt eine Abschätzung der Varianz eines Schätzers bezüglich und liefert bei Grenzübergang eine punktweise Version der Cramér-Rao-Ungleichung.