Lokationsklasse

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Eine Lokationsklasse, auch Lokationsfamilie, Translationsklasse oder Translationsfamilie genannt, ist eine spezielle Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik. Anschaulich entstehen Lokationsklassen dadurch, dass eine vorgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung um einen gewissen Wert verschoben wird. Die Menge all dieser verschobenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bildet dann die Lokationsklasse. Ein stochastisches Modell, dessen Verteilungsklasse eine Lokationsklasse ist, wird ein Lokationsmodell genannt. Lokationsklassen finden beispielsweise Verwendung bei der Untersuchung von äquivarianten Schätzern und translationsinvarianten Schätzern und gehören zu den Q-invarianten Verteilungsklassen.

Auf den reellen Zahlen

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Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf . Definiere

oder äquivalent mit der Dirac-Verteilung in

.

Hierbei bezeichnet die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße. Dann heißt

die von erzeugte Lokationsklasse.

In höheren Dimensionen

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Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf definiert man

,

wobei den Einsvektor bezeichnet, also einen Vektor in mit nur Einsen als Einträgen. Analog zu oben heißt dann

die von erzeugte Lokationsklasse.

Sei eine Standardnormalverteilung, also in Verteilung. Dann ist

.

Also ist , die Lokationsklasse besteht somit genau aus den Normalverteilungen mit Varianz eins und Erwartungswert :

.

Zu beachten ist jedoch, dass nicht bei allen Verteilungen wie im obigen Beispiel eine Verschiebung um auf der x-Achse mit einer Veränderung des Lageparameters der Verteilung um übereinstimmt. Beispiels hierfür wäre die geometrische Verteilung mit dem Erwartungswert als Lageparameter.

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß sowie die erzeugte Lokationsklasse . Dann gilt:

  • ist genau dann eine dominierte Verteilungsklasse, wenn dominiert ist, das heißt absolut stetig bezüglich eines σ-endlichen Maßes.
  • Stärker gilt: ist genau dann absolut stetig bezüglich eines σ-endlichen Maßes , wenn alle absolut stetig bezüglich sind.
  • Bezeichnet man mit die von erzeugte Lokationsklasse, so gilt .
  • Jede Lokationsklasse ist eine Q-invariante Verteilungsklasse bezüglich
.