Maßraum
Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Das Tripel heißt Maßraum, wenn
- eine beliebige, nichtleere Menge ist. wird dann auch Grundmenge genannt.
- eine σ-Algebra über der Grundmenge ist.
- ein Maß ist, das auf definiert ist.
Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum versehen mit einem Maß definieren.
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge , als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge und als Maß das Diracmaß auf der 1: .
Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge , versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.
Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge , der Ereignisalgebra und dem Wahrscheinlichkeitsmaß .
Klassen von Maßräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Endliche Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein Maßraum wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also ist.
σ-endliche Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra ) ist.
Vollständige Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.
Signierte Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist eine σ-Algebra über der Grundmenge und ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel einen signierten Maßraum.
Separable Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein Maßraum heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem existiert, so dass für alle und beliebige ein existiert, so dass ist.
Zerlegbare Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.
Lokalisierbare Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.