Muirhead-Ungleichung

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Die Muirhead-Ungleichung ist eine Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Zwei Definitionen

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Das „a-Mittel“

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Für einen gegebenen reellen Vektor

wird der Ausdruck

wobei über alle Permutationen σ von { 1, …, n } summiert wird, als „a-Mittel“ [a] der nichtnegativen reellen Zahlen x1, …, xn bezeichnet.

Für den Fall a = (1, 0, …, 0), ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x1, …, xn; für den Fall a = (1/n, …, 1/n) ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Doppelt stochastische Matrizen

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Eine n × n Matrix P wird doppelt stochastisch genannt, wenn sie aus nichtnegativen Zahlen besteht und sowohl die Summe jeder Zeile als auch die Summe jeder Spalte gleich eins sind.

Die Muirhead-Ungleichung

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Die Muirhead-Ungleichung besagt nun, dass [a] ≤ [b] für alle xi ≥ 0 genau dann, wenn eine doppelt stochastische Matrix P existiert, für die a = Pb gilt.

Ein Beweis der Muirhead-Ungleichung findet sich beispielsweise in [1]

Einzelnachweise

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  1. Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, G. Polya: Inequalities, Cambridge University Press (1952), Kapitel 2.18 und 2.19.