Polygammafunktion

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Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
m = 0   m = 1   m = 2   m = 3   m = 4

In der Mathematik sind die Polygammafunktionen eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion definiert sind. Dabei bezeichnet die Gammafunktion und den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol (oder seltener ) und ist die zweite Ableitung von . Allgemein wird die -te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung mit oder bezeichnet und als die -te Ableitung von definiert.

Definition und weitere Darstellungen

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Es ist

mit der Digammafunktion . Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

für und

Differenzengleichungen

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Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

Reflexionsformel

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Eine weitere wichtige Beziehung lautet

Multiplikationsformel

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Die Multiplikationsformel ist für gegeben durch

Zum Fall also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen

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Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

wobei und eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion schreiben als

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

wobei das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um ist gegeben durch

die für konvergiert. bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

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Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie , Quadratwurzel, Clausen-Funktion , riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.

Allgemein gilt ferner:

.

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

.

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt

Verallgemeinerte Polygammafunktion

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Espinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte definiert ist.[1] Diese hat für die allgemeine Taylor-Entwicklung

gültig im Bereich .[2] Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.[3]

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für und die Funktionalgleichung

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

für ganzzahlige ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen -Funktion erhält man dann die Beziehung

welche die Funktionalgleichung erfüllt.[4]

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für enthält.

q-Polygammafunktion

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Die -Polygammafunktion ist definiert durch[5]

.

Einzelnachweise

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  1. O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv).
  2. O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6–7.
  3. N. Grossman: Polygamma functions of arbitrary order. SIAM J. Math. Anal. 7, 1976, 366–372.
  4. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  5. Eric W. Weisstein: q-Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).