Primärzerlegung

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Die Primärzerlegung ist ein Begriff aus der kommutativen Algebra. In einer Primärzerlegung werden Untermoduln als Durchschnitt primärer Untermoduln dargestellt. Existenz und Eindeutigkeit können unter bestimmten Voraussetzungen bewiesen werden. Die Primärzerlegung eines Ideals ist eine Verallgemeinerung der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. Andererseits ist die Primärzerlegung die algebraische Grundlage für die Zerlegung einer algebraischen Varietät in ihre irreduziblen Komponenten.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Ist ein Untermodul eines Moduls über einem Ring , so ist eine Primärzerlegung von eine Darstellung von als Durchschnitt:

von -primären Untermoduln . (Die sind Primideale des Rings .)

Die Primärzerlegung heißt reduziert, wenn folgendes gilt:

  1. Für ist

Bei einer reduzierten Primärzerlegung werden die auch als Primärkomponenten bezeichnet.

Ist ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschem Ring , so besitzt jeder echte Untermodul von aufgrund von noetherscher Induktion eine Zerlegung in irreduzible Untermoduln.[1] Da irreduzible Untermoduln von endlich erzeugten Modul über einem noetherschen Ring aber bereits primär sind[2], ist die Zerlegung in irreduzible Untermoduln bereits eine Primärzerlegung. Ersetzt man nun alle zum selben Primideal primären Komponenten durch deren Schnitt, der selbst primär ist[3], und lässt alle nicht benötigten Komponenten weg, so erhält man eine reduzierte Primärzerlegung. Insbesondere besitzt jedes Ideal als Untermodul von eine Zerlegung in primäre Ideale.

Ist ein Untermodul von einem Modul über einem noetherschen Ring und

eine reduzierte Primärzerlegung in -primäre Untermoduln, so ist

ist die Menge der assoziierten Primideale von . Insbesondere ist die Menge der bei einer reduzierten Primärzerlegung auftretenden Primideale eindeutig festgelegt.

Ist ein minimales Element der Menge , so ist gleich . Die zu minimalen Elementen von gehörigen Primärkomponenten sind durch und eindeutig festgelegt.

Gehört eine Primärkomponente nicht zu einem minimalen Element von , so wird eine eingebettete Primärkomponente genannt. Diese sind nicht unbedingt eindeutig (siehe unten).

Satz von Lasker-Noether

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Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen der Primärzerlegung in noetherschen Ringen nennt man auch Satz von Lasker-Noether. Er lautet

Jedes Ideal eines noetherschen Ringes gestattet eine reduzierte Primärzerlegung . Die Primradikale der sind eindeutig bestimmt; es handelt sich genau um die Primideale der Form , wobei alle Elemente aus durchläuft.

Dieser Satz wurde zunächst von Emanuel Lasker, der vor allem als Schachweltmeister bekannt ist, für Polynomringe über einem Körper bewiesen. Emmy Noether hat dann erkannt, dass sich die Argumente auf die aufsteigende Kettenbedingung zurückführen lassen und daher allgemeiner für noethersche Ringe gelten. Das erklärt die Benennung dieses Satzes.[4] Die Verallgemeinerung auf endlich erzeugte Moduln über einem noetherschen Ring ist dann Routine.

Ist eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge eines Ringes und

eine reduzierte Primärzerlegung eines Untermoduls mit -primären Untermoduln von , so ist

eine reduzierte Primärdarstellung von .

In den ganzen Zahlen

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Ist zum Beispiel in den ganzen Zahlen

mit Primzahlen , so ist die Primärzerlegung des von erzeugten Hauptideals

.

In einem Koordinatenring

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Ist ein Körper, so hat das Ideal

die Primärzerlegungen:

ist als Potenz eines maximalen Ideals primär; im Ring ist jeder Nullteiler nilpotent, daher ist das Ideal auch primär. Sowohl als auch sind -primär. Dieses Beispiel zeigt, dass die Primärzerlegung selbst nicht eindeutig ist, wohl aber die assoziierten Primideale.

  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9

Einzelnachweise

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  1. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Satz C.32., S. 235
  2. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Satz C.30., S. 235
  3. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Korollar C.28., S. 234
  4. O. Zariski, P. Samuel: Commutative Algebra I, Springer-Verlag (1975), ISBN 3-540-90089-6