Pseudobetrag

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Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.

Sei ein unitärer Ring. Eine Abbildung in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt, wenn für alle folgende Eigenschaften gelten:

(1) (Definitheit)
(2)
(3) (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a) (Multiplikativität),

so ist ein Betrag.

Der Pseudobetrag heißt nicht-archimedisch, wenn

(4)

gilt.

  • Für einen Pseudobetrag gelten stets
und
(Dreiecksungleichung).
  • Für einen Pseudobetrag gilt stets , für einen Betrag gilt sogar .
  • Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
  • Die Funktion
definiert die vom Pseudobetrag induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.

Sei ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

Polynomringe mit Pseudobetrag

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Dann sind die Polynomalgebren in einer bzw. in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

Matrizenringe mit Pseudobetrag

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Analog sind die Matrizenalgebren wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.