Reduktive Gruppe

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Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der geometrischen Invariantentheorie von Bedeutung ist.

Eine reduktive Gruppe ist eine algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper , die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Das Radikal der Komponente der Eins ist ein algebraischer Torus, insbesondere also eine abelsche Gruppe.
  • Das unipotente Radikal von ist die triviale Gruppe. Mit anderen Worten: hat keine abgeschlossenen, zusammenhängenden und unipotenten Normalteiler.
  • Die Gruppe ist das Produkt zweier abgeschlossener Normalteiler und , wobei halbeinfach und ein algebraischer Torus ist.

Im letzten Fall ist und das Radikal von , der Durchschnitt ist endlich und jede halbeinfache oder unipotente Untergruppe von ist in enthalten.

Im Fall ist genau dann reduktiv, wenn jede Darstellung vollständig reduzibel ist und dies ist genau dann der Fall, wenn die adjungierte Darstellung vollständig reduzibel ist.

Im Fall ist genau dann reduktiv, wenn sie die Komplexifizierung einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe ist.

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann sind die folgenden Gruppen reduktiv.

Reduktive Gruppenschemata

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Reduktivität kann für Gruppenschemata über beliebigen Basisschemata definiert werden. Dabei wird aus technischen Gründen eine Zusammenhangsbedingung gefordert.[1]

Ein reduktives Gruppenschema über einem Schema ist ein glattes -affines -Gruppenschema , sodass alle geometrischen Fasern von zusammenhängende reduktive Gruppen im Sinne der Definition im ersten Abschnitt sind.[2]

Ist das Spektrum eines algebraisch abgeschlossenen Körpers , so ergibt sich die Definition von zusammenhängenden reduktiven Gruppen. In diesem Fall ist nämlich ein geometrischer Punkt und für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper , der erweitert, ist der Basiswechsel einer zusammenhängenden reduktiven Gruppe wieder zusammenhängend und reduktiv.

Einzelnachweise

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  1. Die Gründe für diese Einschränkung sind in Conrad §3 ausgeführt.
  2. Conrad: Def. 3.1.1