Schläfli-Symbol

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Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol ein regelmäßiges Polygon (-Eck).

Ist ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger -Ecke, wobei angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

bezeichnet einen Punkt.

bezeichnet eine Strecke.

bezeichnet ein regelmäßiges -Eck

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Beispiel

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal

  • immer einer (beim ) oder
  • immer zwei Punkte (beim ) übersprungen werden und dadurch die erzeugten Sehnen gleich lang sind.
keine vom Dreieck
keine vom Viereck
1 Pentagramm
vom Fünfeck

oder
keine vom Sechseck
2 Heptagramme
vom Siebeneck

oder

oder
1 Oktogramm
vom Achteck

oder
2 Ennea-
gramme

vom Neuneck

oder

oder
1 Dekagramm
vom Zehneck

oder
4 Hendeka-
gramme
vom Elfeck

oder

oder

oder

oder
1 Dodeka-
gramm
vom Zwölfeck

oder
5 Trideka-
gramme
vom 13-Eck

oder

oder

oder

oder

oder
2 Tetradeka-
gramme
vom 14-Eck

oder

oder
3 Pentadeka-
gramme
vom 15-Eck

oder

oder

oder
3 Hexadeka-
gramme
vom 16-Eck

oder

oder

oder
7 Heptadeka-
gramme
vom 17-Eck

oder

oder

oder

oder

oder

oder

oder
2 Oktodeka-
gramme
vom 18-Eck

oder

oder
8 Enneadeka-
gramme
vom 19-Eck

oder

oder

oder

oder

oder

oder

oder

oder
3 Ikosa-
gramme
vom 20-Eck

oder

oder

oder
5 Ikosihen-
gramme
vom 21-Eck

oder

oder

oder

oder

oder
04 Doikosagramme vom 22-Eck
10 Trikosagramme vom 23-Eck
03 Tetraikosagramme vom 24-Eck

: p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone

bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

bezeichnet das Oktaeder, die Inversion den zum Oktaeder dualen Würfel.

bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

  • Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers von dem eines Platonischen Parketts unterscheidet, ist, dass für einen Körper gilt, für ein Parkett hingegen .

bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.

bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion das zum Großen Dodekaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

bezeichnet das Pentachoron,

den vierdimensionalen Würfel (Tesserakt), das Duale dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),

den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor).

Mehrdimensionale Körper

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oder bezeichnet das 5-Simplex.

oder bezeichnet das 6-Simplex.

bezeichnet das d-Simplex.