Liste nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion

Die nachfolgende Tabelle listet alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion mit einem positiven Imaginärteil kleiner als 100 auf.

Erklärung

Die riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in -2, -4, -6, -8, ...

Die in obigem Bild verwendete Kolorierung der komplexen Funktionswerte.

Die Menge aller komplexen Nullstellen der Riemanschen Zetafunktion zerfällt in zwei Teilmengen: in die Teilmenge der sogenannten trivialen Nullstellen, welche die Riemannsche Zetafunktion an den negativen geraden Zahlen (-2, -4, -6, -8, usw.) annimmt, und in die Teilmenge der sogenannten nicht-trivialen Nullstellen, deren Realteil zwischen 0 und 1 liegt. Die bis heute weder bewiesene noch widerlegte Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionen den Realteil 1/2 besitzen.

Zu den überwältigend vielen, nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, von denen bekannt ist, dass sie tatsächlich den Realteil 1/2 besitzen, zählen die in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Nullstellen mit einem Imaginärteil kleiner als 100. Deshalb werden in der zweiten Spalte der Tabelle nur die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen angegeben. Der zugehörende Realteil ist stets 1/2.

Die nicht-trivialen Nullstellen sind spiegelsymmetrisch zur reellen Achse angeordnet. Besitzt also in nachfolgender Tabelle eine nicht-triviale Nullstelle den Imaginärteil $t$, so ist nicht nur $1/2+it$ eine nicht-triviale Nullstelle der Riemannschen Zetafunktion, sondern auch $1/2-it$. Aus diesem Grund werden in der nachfolgenden Tabelle keine nicht-trivialen Nullstellen mit negativem Imaginärteil aufgelistet. Bei den Imaginärteilen in der zweiten Spalte werden 30 Nachkommastellen angegeben. Die letzte angegebene Nachkommastelle ist nicht gerundet.

Die Nummerierung der nicht-trivialen Nullstellen in der ersten Spalte folgt steigenden Werten der Imaginärteile der Nullstellen. Es ist also $1/2+i\cdot 14.1347...$ die nicht-triviale Nullstelle der Riemannschen Zetafunktion mit dem kleinsten, positiven Imaginärteil. Die nicht-triviale Nullstelle $1/2+i\cdot 21.0220...$ besitzt den zweitkleinsten, positiven Imaginärteil, usw.

Tabelle

n	Imaginärteil
1	14.134725141734693790457251983562...
2	21.022039638771554992628479593896...
3	25.010857580145688763213790992562...
4	30.424876125859513210311897530584...
5	32.935061587739189690662368964074...
6	37.586178158825671257217763480705...
7	40.918719012147495187398126914633...
8	43.327073280914999519496122165406...
9	48.005150881167159727942472749427...
10	49.773832477672302181916784678563...
11	52.970321477714460644147296608880...
12	56.446247697063394804367759476706...
13	59.347044002602353079653648674992...
14	60.831778524609809844259901824524...
15	65.112544048081606660875054253183...
16	67.079810529494173714478828896522...
17	69.546401711173979252926857526554...
18	72.067157674481907582522107969826...
19	75.704690699083933168326916762030...
20	77.144840068874805372682664856304...
21	79.337375020249367922763592877116...
22	82.910380854086030183164837494770...
23	84.735492980517050105735311206827...
24	87.425274613125229406531667850919...
25	88.809111207634465423682348079509...
26	92.491899270558484296259725241810...
27	94.651344040519886966597925815208...
28	95.870634228245309758741029219246...
29	98.831194218193692233324420138622...

Literatur

Die Fachliteratur zur Mathematik der riemannschen Zetafunktion und ihrer Nullstellen wurde zu einem großen Teil in englischer Sprache verfasst. Es existiert vergleichsweise wenig deutschsprachige Fachliteratur zu diesem Thema.

• Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90163-9 (Insbesondere Kapitel 11, 12 und 13). 
• Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, Andrea Weirathmueller: The Riemann Hypothesis. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72125-5 (Insbesondere Kapitel 2 und 3.). 
• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg 1995, ISBN 3-540-58821-3. 
• John Brian Conrey: More than two fifths or the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 1989, Nr. 399. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1989, S. 1–26. 
• Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, 2001, ISBN 0-486-41740-9 (Dieses Buch erläutert ausführlich die Mathematik in Bernhard Riemanns berühmter Originalarbeit "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" aus dem Jahr 1859. Es enthält im Anhang eine englische Übersetzung dieser Originalarbeit.). 
• Aleksandar Ivić: The Riemann Zeta-Function: theory and applications. Dover, Mineola 2003, ISBN 0-486-42813-3. 
• Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3633-1 (Insbesondere Kapitel 1 und 5). 
• Eugen Jahnke: Tafeln höherer Funktionen. Teubner, Stuttgart 1966. 
• Anatoly A. Karatsuba, S.M. Voronin: The Riemann Zeta-Function. Walter de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013170-6. 
• Peter Meier, Jörn Steuding: Wer die Zetafunktion kennt, kennt die Welt! In: Spektrum der Wissenschaft Dossier 6/2009: „Die größten Rätsel der Mathematik“. ISBN 978-3-941205-34-5, S. 12–19. 
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6 (Insbesondere Kapitel 7). 
• Samuel Patterson: An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge University Press, New York 1995, ISBN 0-521-49905-4. 
• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. 2. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-18078-1 (Insbesondere Kapitel 4, Abschnitt I.). 
• Bernhard Riemann: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin 1859, S. 671–680. 
• Atle Selberg: On the zeros of the Riemann zeta-function. In: Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. Band 10, 1942, S. 1–59. 
• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. 1951. 
• Sergei Michailowitsch Woronin: Theorem on the 'universality' of the Riemann zeta-function. In: Mathematics of the USSR-Izvestiya. Band 9, Nr. 3, 1975, S. 443–445. 

Weblinks

• Andrew Odlyzko: Table of zeros of the Riemann zeta function. Abgerufen am 9. November 2013 (englisch).