N-Körper-Problem

Das N-Körperproblem ist eine physikalische Problemstellung der klassischen Mechanik, die das Aufstellen von Bewegungsgleichungen für jeden einzelnen Massenpunkt als Ziel hat. Das N-Körperproblem wird meist von Astronomen verwendet, um die Bewegung von Planeten, Sternen, Sateliten etc. zu simulieren. Das allgemeine Problem lässt sich nicht analytisch lösen, allerdings können Spezialfälle wie bspw. das Zweikörperproblem gelöst werden.

Das N-Körperproblem der allgemeinen Relativitätstheorie ist um einiges schwerer zu lösen, als das der klassischen Mechanik.

Allgemeine Formulierung

Gegeben seinen $n$ Punktmassen $m_{i}$ ($i=1,...,n$), die sich im dreidimensionalem Raum $\mathbb {R} ^{3}$ unter dem gravitativen Einfluss bewegen. Die Position des $i$-ten Massenpunkte sei durch den Ortsvektor ${\vec {r}}_{i}$ gegeben.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz sagt aus, dass $m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}$ gleich der Summe der wirkenden Kräfte entspricht. Die gravitative Wechselwirkung zwischen dem $i$-ten und dem $j$-ten Teilchen ist nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz gegeben durch

$${\vec {F}}_{ij}=G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})$$

Damit können wir die Bewegungsgleichungen wie folgt schreiben:

$$m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}=\sum _{i=1,i\neq j}^{N}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}_{i}}}$$

Wobei das Potential $V$ gegeben ist durch

$$V=-\sum _{1\leq i\leq j\leq n}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|}}.$$

Mit dem kanonischen Impuls ${\vec {p}}_{i}=m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}$ lassen sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen durch:

$${\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}}$$

schreiben, wobei die Hamilton-Funktion durch

$H=T+V$

definiert ist.

$T$ ist hierbei die kinetische Energie: $T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {|p_{i}|^{2}}{2m_{i}}}$.

Aus den Hamilton-Gleichungen erkennen wir, dass das $N$-Körperproblem durch $6N$ linearen Differentialgleichungen beschrieben werden kann.

Spezialfälle

Das Zweikörperproblem

→ Hauptartikel: Zweikörperproblem

Das Zweikörperproblem ist besonders in der Astronomie von herausragender Bedeutung, da es mit sehr großer Genauigkeit die Umlaufbahnen zweier Planeten etc. beschreiben kann.

Um das Zweikörperproblem zu lösen, stellen wir zuerst die Newtonschen Bewegegungsgleichungen der zwei Teilchen auf:

$$F_{12}=m_{1}{\ddot {x}}_{1}\qquad F_{21}=m_{2}{\ddot {x}}_{2}.$$

Durch Addition der beiden Bewegungsgleichungen erhalten wir:

$$m_{1}{\ddot {x}}_{1}+m_{2}{\ddot {x}}_{2}=F_{12}+F_{21}=0.$$

Nach Einführung von Schwerpunktkoordinaten können wir das Zweikörperproblem durch

$$m_{1}{\ddot {x}}_{1}+m_{2}{\ddot {x}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {R}}\Rightarrow {\ddot {R}}={\frac {m_{1}{\ddot {x}}_{1}+m_{2}{\ddot {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=0.$$

Der Schwerpunkt des Zweikörpersystems bewegt sich also geradlinig gleichförmig.