Sequentielles Gleichgewicht

Das Sequentielles Gleichgewicht ist ein spieltheoretisches Lösungskonzept für dynamische Spiele mit unvollständiger und/oder unvollkommener Information.

Das Konzept des sequentiellen Gleichgewichts, welches von Kreps und Wilson (1982) eingeführt wurde, ist eine Verfeinerung des perfekt bayesianischen Gleichgewichts. Diese Verfeinerung kommt durch das Beliefssystem und die Forderung auf sequentielle Rationalität sowie der Konsistenz insbesondere in dynamischen Spielen mit unvollständiger und/oder vollkommener und imperfekter Information zum Eindruck.

Entwicklung

Bei dem Teilspielperfektheitskonzept müssen die Gleichgewichtsstrateigen an jedem Entscheidungsknoten optimal sein. Die Vorraussetzung dafür ist, dass die Spieler vollkommene Information besitzen, d.h. sie müssen über den bisherigen Spielverlauf informiert sein und damit in der Lage sein, zu wissen, an welchem Knoten sie sich befinden. In Spielen mit unvollständiger und/oder unvollkommener Infomation schließt das Konzept der Teilspielperfektheit jedoch nicht alle unplausiblen Gleichgewichte aus, da in solchen Situationen häufig kein echtes Teilspiel existiert.

Das Bayessches Gleichgewicht verfeinert dieses Teilspielperfektheitskonzept durch die Anforderung, dass die Gleichgewichtsstrateigen jeder Informationsmenge optimal sein müssen, gegeben einem Konsistenzsystem von Beliefs. Dieses Konzept scheitert jedoch, wenn unerwarteterweise eine Strategie außerhalb des Gleichgewichtspfads vorkommt, da bei dem Bayessches Gleichgewicht nur die Aktionen auf dem Gleichgewichtspfad berücksichtigt werden, wobei die bayesische Regel anwendbar ist. Das Sequentielles Gleichgewicht vermeidet diese Schwäche des bayesianischen Gleichgewichts und dient dazu, unplausible Gleichgewichte auszuschliessen.

Darstellung des sequentiellen Gleichgewichts

$\textstyle {\mathbf {(s,\mu )} }$

$\textstyle s$: Strategiekombination

$\textstyle \mu$: Wharscheinlichkeitseinschätzung (Belief)

Formelle Definitionen

Sequentielle Rationalität

Eine Einschätzung $\textstyle (s,\mu )$ ist sequentiell rational, wenn die von Spieler 𝑖 gewählten Strategien an jeder Informationsmenge $\textstyle I_{i}$ optimal sind gegeben dem Belief und den Fortsetzungsstrategien der anderen Spieler.

Anders formuliert, in einem endlichen extensiven Spiel mit vollkommer Erinnerung(perfect recall) ist eine Einschätzung $\textstyle (s,\mu )$ sequentiell rational, wenn für jeden Spieler $i\in N$ und an jeder seiner Informationsmengen $I_{i}\in \iota _{i}$ gilt, $u_{i}(s,\mu |I_{i})\gtrsim u_{i}(s_{-}i,s\!\,'_{i},\mu |I_{i})$

Konsistenz

Eine Einschätzung $\textstyle (s,\mu )$ ist konsistent, wenn eine Folge $\textstyle {((s^{\varepsilon },\mu ^{\varepsilon }))}_{\varepsilon =1}^{\infty }$ existiert, die gegen die Einschätzung $\textstyle (s,\mu )$ konvergiert und die Eigenschaften hat, dass jedes strategiesche Profil sn vollständig gemischt ist sowie jedes Beliefsystem $\mu ^{\varepsilon }$ aus $s^{\varepsilon }$ anhand der bayesianischer Regel abgeleitet ist, so dass gilt: $\lim _{\varepsilon \to 0}(s^{\varepsilon },\mu ^{\varepsilon })=(s,\mu )$

Sequentielles Gleichgewicht(Zusammenfassung)

Ein sequentielles Gleichgewicht ist eine Einschätzung $\textstyle (s,\mu )$, die sowohl konsistent als auch sequentiell rational ist.

Bemerkung

Das Konzept des sequentiellen Gleichgewichts beschränkt(begrenzt) Beliefs über Informationsmengen, die nicht im Gleichgewicht erreicht werden, durch die Einführung der Anforderung, dass die Beliefs durch eine Folge der Kombinationen von völlig gemischten Verhaltensstrategien bestimmt werden, die gegen die Kombination von Gleichgewichtsstrategien konvergieren. Dies bedeutet, dass in einem sequentiellen Gleichgewicht die Beliefs aufm Nicht-gleichgewichtspfad mit einigen kleinen Abweichungen aus der Kombination von Gleichgewichtsstrategien konsistent sein müssen. Deshalb kann ein sequentielles Gleichgewicht als ein perfekt bayesianisches Gleichgewicht interpretiert werden, in dem die Belifs auf dem Nicht-gleichgewichtspfad durch eine kleine Deviation der Kombination von Gleichgewichtsstrategien ausgerichtet werden.

Sätze

1) Für jede endlichen extensiven Spiele existiert mindestens ein sequentielles Gleichgewicht.

2) Wenn $\textstyle {(s,\mu )}$ ein Sequentielles Gleichgewicht ist, dann ist s ein teilspielperfektes Gleichgewicht.

3) wenn $\textstyle {(s,\mu )}$ ein sequentielles Gleichgewicht ist, dann ist $\textstyle {(s,\mu )}$ erwaitert teilspielperfekt.

Beispiel und Lösungsweg

Eine Einschätzung wird dargestellt wie folgendes:

$(s,\mu )=((s_{1}(\emptyset ),s_{2}(\{M,R\})),\mu (\{M,R\}))$

mit

• $s_{1}(\emptyset )$: Die Strategie von Spieler 1, entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilung über seine Strategien, M,L und R,
• $\textstyle {s_{2}(\{M,R\})}$: Die Strategie von Spieler 2, entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilung über seine Strategien, l und r, und
• $\textstyle {\mu (\{M,R\})}$: Belief von Spieler 2,welches bedingt ist dadurch,dass die Informartionsmenge von Spieler 2 erreicht wird.

Beispiel für sequentielles Gleichgewicht

Beispiel in Matrixform; Auszahlungen und Nash-Gleichgewichte

Es gibt zwei Typen der sequentiellen Gleichgewichte in dem Beispiel.

Erster Typ: Sequentielles Gleichgewicht, falls die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, d.h.

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(L)=0}$)

Die Strategie R ist von L und M strikt dominiert, so dass

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(R)=0}$     und

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(M)>0}$.

Die bayesianische Regel ist anwendbar, denn die Informationsmenge von Spieler 2 liegt auf dem Gleichgewichtspfad:

$\mu (\{M,R\})(M)={\frac {s_{1}(\emptyset )(M)}{s_{1}(\emptyset )(M)+s_{1}(\emptyset )(R)}}=1$,

$\mu (\{M,R\})(R)={\frac {s_{1}(\emptyset )(R)}{s_{1}(\emptyset )(M)+s_{1}(\emptyset )(R)}}=0$.

Mit den Beliefs wird Spieler 2 rational l wählen, da die Strategie l eine höhere Auszahlung ergibt:

$\textstyle {u_{2}(l|M)>u_{2}(r|M)}$

und daraus folgt,

$\textstyle {s_{2}(\{M,R\}(l))=1}$,

$\textstyle {s_{2}(\{M,R\}(r))=0}$.

Die Einschätzung ist sequentiell rational wiederum, dann und nur dann

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(L)=0}$,

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(M)=1}$,

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(R)=0}$.

Fazit

$\textstyle {(s,\mu )=(((0,1,0),(1,0)),(1,0))}$ ist ein sequentielles Gleichgewicht, in einem Fall,in dem die Informationsmenge von Spieler 2 nicht erreicht wird.

Bemerkung

In diesem Fall ist das Lösungsverfahren identisch bei dem perfekt bayesianischen Gleichgewicht.

Zweiter Typ: Sequentielles Gleichgewicht, falls die Informationsmenge von Spiele 2 nicht erreicht wird, d.h:

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(L)=1}$,

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(M)=0}$,

$\textstyle {s_{1}(\emptyset )(R)=0}$.

Die Strategie $\textstyle {s_{1}(\emptyset )(L)=1}$ bildet einen Teil der sequentiell rationalen Einschätzung, dann und nur dann    $\textstyle {s_{2}(\{M,R\})(r)=1}$.

Ansonsten wird Spieler 1 von der Strategie L abweichen und nun wird die Anforderung der sequentiellen Rationalität nicht erfüllt.

Beim sequentiellen Gleichgewicht wird angenommen, dass die Strategie auf dem Nicht-Gleichgewichtspfad unerweiteterweise im Spiel vorkommen kann. Daher braucht Spieler 2 die Beliefs über seine Informationsmenge, falls er zum Zug kommen würde.

Nun für die Beliefs

$\textstyle {\mu (\{M,R\})(M)=1-q}$   und

$\textstyle {\mu (\{M,R\})(R)=q}$

muss gelten, $\textstyle {q\geq {\frac {1}{2}}}$.

Zu überprüfen, ob die Einschätzung mit den Strategien und Beliefs konsistent ist, wird betrachtet:

Es gibt Strategiekombinationen $s^{\varepsilon }=((s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset ),s_{2}^{\varepsilon }(\{M,R\}))$,

wobei $\varepsilon$ als eine kleine positive Zahl und definiert ist, wie folgendes:

$s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(L)=1-\varepsilon$	$\textstyle {s_{2}^{\varepsilon }(\{M,R\})(l)=\varepsilon }$
$s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)=(1-q)\varepsilon$	$\textstyle {s_{2}^{\varepsilon }(\{M,R\})(r)=1-\varepsilon }$
$s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)=q\varepsilon$

.

Nun ist die Bayesianische Regel anwendbar und damit sind die Beliefs definiert:

$\mu (\{M,R\})(M)={\frac {s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)}{s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)+s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)}}={\frac {1-q}{1-q+q}}=1-q$,

$\mu (\{M,R\})(R)={\frac {s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)}{s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)+s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)}}={\frac {q}{1-q+q}}=q$.

Mit  $\lim _{{\varepsilon }\to {0}}s^{\varepsilon }=s$  zeigt dies, dass die Einschätzung konsistent ist.

Fazit

$\textstyle (s,\mu )=(((1,0,0),(0,1)),(1-q,q))$ ist ein sequentielles Gleichgewicht mit   $q\geq {\frac {1}{2}}$, falls die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird.

Bemerkung

In einem Fall  $q={\frac {1}{2}}$  (d.h. die Beliefs sind gleich üeber die jeweiligen Entscheidungsknoten in der Informationsmenge von Spieler 2) ist Spieler 2 indifferend zwischen r und l. Dann bildet die Strategie $s_{1}(\emptyset )(L)=1$ einen Teil des sequentiellen Gleichgewichts dann und nur dann

$\textstyle {s_{2}(\{M,R\})(l)=1-p}$,

$\textstyle {s_{2}(\{M,R\})(r)=p}$                     mit  $\textstyle {p\geq {\frac {1}{2}}}$.

Ansonsten ist die Einschätzung mit $s_{1}(\emptyset )(L)=1$ nicht sequentiell rational.

Zu überprüfen, ob die Einschätzung mit den Strategien und Beliefs konsistent ist, wird betrachtet:

Es gibt Strategiekombinationen  $s^{\varepsilon }=((s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset ),s_{2}^{\varepsilon }(\{M,R\}))$,

wobei $\varepsilon$ als eine kleine positive Zahl und definiert ist, wie folgendes:

$s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(L)=1-2\varepsilon$	$\textstyle {s_{2}^{\varepsilon }(\{M,R\})(l)=s_{2}(\{M,R\})(l)}$
$s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)=\varepsilon$	$\textstyle {s_{2}^{\varepsilon }(\{M,R\})(r)=s_{2}(\{M,R\})(r)}$
$s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)=\varepsilon$.

Graphische Darstellung der Menge aller Gleichgewichte

Und die Beliefs $\textstyle {\mu (\{M,R\}}$ sind anhand der bayesianischen Regel definiert:

$\mu (\{M,R\})(M)={\frac {s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)}{s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)+s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)}}={\frac {\varepsilon }{\varepsilon +\varepsilon }}={\frac {1}{2}}$,

$\mu (\{M,R\})(R)={\frac {s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)}{s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(M)+s_{1}^{\varepsilon }(\emptyset )(R)}}={\frac {\varepsilon }{\varepsilon +\varepsilon }}={\frac {1}{2}}$.

Mit $\lim _{{\varepsilon }\to {0}}s^{\varepsilon }=s$ zeigt dies, dass die Einschätzung konsistent ist.

Dies führt zu einem anderen sequentiellen Gleichgewicht,

$(s,\mu )=(((1,0,0),(1-p,p)),({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}))$  mit  $\textstyle {p\geq {\frac {1}{2}}}$  in einem Fall, in dem die Informationsmenge von Spieler 2 nicht erreicht wird und die Beliefs über die jeweiliegen Entscheidungsknoten in der Informationsmenge von Spieler 2 gleich sind.

Abgrenzung des sequentiellen Gleichgewichts von dem perfekt bayesianischen Gleichgewicht

Der Unterschied zwischen dem sequentiellen- und dem perfekt bayesshen Gleichgewicht liegt darin, dass Informationsmengen außerhalb des Gleichgewichtspfads zur Bestimmung des Nash-Gleichgewichs berücksichtigt werden. Während bei dem perfekt bayesschen Gleichgewicht die Einschränkugen nur für Informationsmengen auf dem Gleichgewichtspfad gültig sind, gelten bei dem sequentiellen Gleichgewicht die Anforderungen auch für Informationgsmengen außerhalb des Gleichgewichtspfads. Das sequentiellen Gleichgewicht ist eine Teilmenge des perfekt bayesschen Gleichgewicht.

Verfeinerung des sequentiellen Gleichgewicht

In dem Beistpiel ist der zweite Typ des sequentiellen Gleichgewichts jedoch nicht plausibel:

Die Einscätzung $\textstyle (s,\mu )=(((1,0,0),(0,1)),(1-q,q)$ ist ein sequentielles Gleichgewicht, dann und nur dann $q\geq {\frac {1}{2}}$.

Dies implizirt, dass

$\textstyle {\mu (\{M,R\})(M)<\mu (\{M,R\})(R)}$.

Aber da für den Spieler 1 die Strategie R von M und L strikt dominiert ist, wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird und somit Spieler 2 zum Zug kommen würde, ist für Spieler 2 zumutbar zu schätzen, dass die Spieler 1 rational eher M gewählt hat. Also $q\geq {\frac {1}{2}}$ ist nicht vernünftig in der Realität und somit sind die sequentiellen Gleichgewichte von dem zweiten Typ nicht plausibel.

Für diese Argumentation wurde das Konzept 'Perfektes Gleichgewicht'(Trembling-hand-perfektes Gleichgewicht) als eine Verfeinerung entwickelt.

Siehe auch

• Spieltheorie
• Nash-Gleichgewicht
• Teilspielperfektes Gleichgewicht
• Perfekt Bayesianisches Gleichgewicht
• Trembling-hand-perfektes Gleichgewicht

Literatur

• Martin J. Osborne, Ariel Rubinstein: A Course in Game Theory. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts 1994, ISBN 978-0-262-15041-5. 
• Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie. Springer, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-69372-7. 
• Jurgen Eichberger: Game theory for economists. 1993, ISBN 978-3-540-69372-7. 
• Robert Gibbons: A Primer in Game Theory. Financial Times, Harlow 1992, ISBN 978-0-7450-1159-2. 
• Siegfried K Berninghaus, Karl-Martin Ehrhart: Strategische Spiele: Eine Einführung in die Spieltheorie. Springer, Berlin Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-11650-6.