Absolute Stetigkeit

In der Analysis ist die absolute Stetigkeit einer Funktion eine Verschärfung der Eigenschaft der Stetigkeit. Der Begriff wurde 1905 von Giuseppe Vitali eingeführt und erlaubt eine Charakterisierung von Lebesgue-Integralen.

In der Maßtheorie ist die absolute Stetigkeit eine Eigenschaft von Maßen. Ein Maß $\mu$ ist absolut stetig bezüglich eines Maßes $\nu$, wenn jede $\nu$-Nullmenge auch eine Nullmenge bezüglich $\mu$ ist. Die Eigenschaft erlaubt es, solche Maße zu charakterisieren, die durch eine Dichtefunktion dargestellt werden können; zwischen beiden Begriffen besteht ein enger Zusammenhang.

Absolute Stetigkeit reeller Funktionen

Genauer heißt eine auf einem Intervall $I$ definierte reellwertige Funktion $f$ absolut stetig, falls für jede Zahl $\epsilon>0$ eine Zahl $\delta>0$ existiert, welche derart klein ist, dass für jede endliche oder unendliche Folge paarweise disjunkter Intervalle $[x_k,y_k]$, die Teilmengen von $I$ sind und die der Bedingung

$\sum_{k} (y_k-x_k)\,<\delta$

genügen, die folgende Beziehung gilt:

$\sum_{k}\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon$

Jede absolut stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.

Die Cantor-Funktion ist ein Beispiel für eine überall stetige, aber nicht absolut stetige Funktion.

Absolut stetige Funktionen sind fast überall differenzierbar und diese Ableitung stimmt mit der schwachen Ableitung überein.

Absolute Stetigkeit von Maßen

Sind $\mu$ und $\nu$ Maße auf der σ-Algebra $\mathcal A$, so bezeichnet man $\mu$ als absolut stetig (oder kurz: stetig) bezüglich $\nu$, falls für alle $A\in\mathcal A$ gilt:

$\nu(A)=0\Rightarrow\mu(A)=0$.

Man schreibt kurz $\mu\ll\nu$ und spricht auch alternativ davon, dass $\nu$ das Maß $\mu$ dominiert.

Ein Maß $\mu$ auf der reellen Zahlengerade ist genau dann absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes auf den Borel-Mengen der reellen Zahlen, wenn für jedes endliche Intervall $I$ die Einschränkung von

$F(x)=\mu((-\infty,x])$

auf $I$ eine absolut stetige reelle Funktion ist.

Anwendungsbereiche

• In der Theorie der optimalen Steuerungen wird bislang gefordert, dass die Lösungstrajektorien absolut stetig sind.

• Der Satz von Radon-Nikodym besagt: Falls das Maß $\mu$ absolut stetig bezüglich eines Maßes $\nu$ ist und $\nu$ σ-endlich ist, dann besitzt $\mu$ eine Dichtefunktion, manchmal auch Radon-Nikodym-Ableitung genannt, bezüglich $\nu$, d.h. es gibt eine messbare Funktion $f$ in $[0,\infty)$, die mit $f=\tfrac{d\mu}{d\nu}$ bezeichnet wird, so dass für jede messbare Menge $A$ gilt:
  $\mu(A)=\int_A f\,d\nu$.
  Dieser Zusammenhang ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie von fundamentaler Bedeutung.

Literatur

• Giuseppe Vitali: Opere sull'analisi reale e complessa. Edizioni Cremonese, Bologna, 1984.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.