Asymptotische Normalität

Die asymptotische Normalität ist in der mathematischen Statistik eine Eigenschaft von Statistiken. Statistiken, denen diese Eigenschaft zukommt, werden als asymptotisch normale Statistik oder asymptotisch normalverteilte Statistik bezeichnet. Asymptotisch normale Statistiken zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Verteilung im Grenzwert gegen die Standardnormalverteilung konvergiert (bezüglich der Konvergenz in Verteilung). Dies ermöglicht die Konstruktion approximativer statistischer Verfahren.

Definition

Gegeben sei eine mit einer Indexmenge $\Theta$ indizierte Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$ sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P_{\vartheta })$ und eine Folge von Zufallsvariablen $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.

Dann heißt eine Folge von Statistiken $T_{n}=T_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ asymptotisch normalverteilt oder asymptotisch normal, wenn es Folgen

$(a_{n}(\vartheta ))_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n}(\vartheta ))_{n\in \mathbb {N} }$

gibt, so dass

${\frac {T_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})-a_{n}(\vartheta )}{b_{n}(\vartheta )}}{\stackrel {n\to \infty }{\implies }}{\mathcal {N}}_{0,1}$ in Verteilung für alle $\vartheta \in \Theta$.

Die normierten und reskalierten Verteilungen konvergieren also gegen die Standardnormalverteilung.

Verwendung

Asymptotisch normalverteilte Statistiken sind ein Hilfsmittel in der asymptotischen Statistik. Ist die Verteilung einer Statistik $T_{N}$ unbekannt, aber asymptotisch normalverteilt, so kann man sie durch

$P(T_{N}(X)\leq t)\approx \Phi \left({\frac {t-a_{N}(\vartheta )}{b_{N}(\vartheta )}}\right)$

annähren. Hierbei bezeichnet $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Hierbei sollte die Stichprobengröße $N$ groß genug sein, um den Näherungsfehler klein zu halten. Diese Näherungsmöglichkeit erlaubt es, exakte statistische Methoden, die auf Gauß-verteilte Statistiken zugeschnitten sind (Gauß-Test etc.) als approximative Verfahren auf asymptotisch normalverteilte Statistiken zu übertragen.

Literatur

• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.