• Author: Patrick-Emil Zörner User:Paddy
• uploaded as de:Bild:Lognormal Black.png by Paddy on de-WP 2004-07-03, 16:02 with comment: Wahrscheinlichkeitsdichte

Beschreibung

(changed licence tags, removed double licence tag, added english info)

• description: Probability distribution
• source: own work with a spreadsheet application
• author: Patrick-Emil Zörner (User:Paddy)

• Beschreibung: Wahrscheinlichkeitsdichte
• Quelle: Selber erstellt mit einem Tabellenkalkulationsprogramm
• Zeichner: Patrick-Emil Zörner (Paddy)

• Lizenzstatus/Licence:

Es ist erlaubt, die Datei unter den Bedingungen der GNU-Lizenz für freie Dokumentation, Version 1.2 oder einer späteren Version, veröffentlicht von der Free Software Foundation, zu kopieren, zu verbreiten und/oder zu modifizieren; es gibt keine unveränderlichen Abschnitte, keinen vorderen und keinen hinteren Umschlagtext. Der vollständige Text der Lizenz ist im Kapitel GNU-Lizenz für freie Dokumentation verfügbar.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

	Diese Datei ist unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 nicht portiert“ lizenziert.
	Dieses Werk darf von dir verbreitet werden – vervielfältigt, verbreitet und öffentlich zugänglich gemacht werden neu zusammengestellt werden – abgewandelt und bearbeitet werden Zu den folgenden Bedingungen: Namensnennung – Du musst angemessene Urheber- und Rechteangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Diese Angaben dürfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterstütze gerade dich oder deine Nutzung besonders. Weitergabe unter gleichen Bedingungen – Wenn du das Material wiedermischst, transformierst oder darauf aufbaust, musst du deine Beiträge unter der gleichen oder einer kompatiblen Lizenz wie das Original verbreiten.
	Diese Lizenzmarkierung wurde auf Grund der GFDL-Lizenzaktualisierung hinzugefügt.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue

Diese Datei ist unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland“ lizenziert.

Dieses Werk darf von dir

• verbreitet werden – vervielfältigt, verbreitet und öffentlich zugänglich gemacht werden
• neu zusammengestellt werden – abgewandelt und bearbeitet werden

Zu den folgenden Bedingungen:

• Namensnennung – Du musst angemessene Urheber- und Rechteangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Diese Angaben dürfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterstütze gerade dich oder deine Nutzung besonders.
• Weitergabe unter gleichen Bedingungen – Wenn du das Material wiedermischst, transformierst oder darauf aufbaust, musst du deine Beiträge unter der gleichen oder einer kompatiblen Lizenz wie das Original verbreiten.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.enCC BY-SA 2.0 deCreative Commons Attribution-Share Alike 2.0 detruetrue

Statistische Betrachtungen

Um die Zuverlässigkeit von Leiterbahnen beurteilen zu können, muß man sich statistischer Methoden bedienen. Von besonderer Bedeutung ist hierbei die Streuung der Meßwerte um die mittlere Lebensdauer. Die Verteilung der Lebensdauer erhält man aus der Wahrscheinlichkeitsdichte p(t). Das ist die Ausfallrate zum Zeitpunkt t.

Da die Leiterbahnen in der Realität wegen verschiedener Ursachen ausfallen, ist es unmöglich, p(t) durch eine einfache Funktion zu beschreiben. Selbst wenn es sich um einfache Leitungen handelt, welche darüber hinaus so hergestellt wurden, daß Frühausfälle durch Fremdeinfluß minimiert wurden, ist es schwierig p(t) durch Formeln mit wenigen Parametern anzupassen. Der Ausfall kann durch einen einzigen oder gar eine ganze Gruppe von EM Mechanismen hervorgerufen werden. Eine Gleichung wird erfolgreich für die Mehrzahl der statistischen Auswertungen angewandt. Man greift dabei auf die Lognormalverteilung zurück und geht davon aus, daß wenn der Logarithmus einer Menge der Normalverteilung gehorcht, die Menge selbst der Lognormalverteilung folgt.

${\displaystyle p(t)={\frac {1}{\sigma \cdot t\cdot {\sqrt {2\cdot \pi }}}}\cdot \exp \left(-{\frac {1}{2\cdot \sigma ^{2}}}\left(\log {\frac {t}{t_{50}}}\right)^{2}\right)}$

In der Abbildung oben ist die Dichtefunktion für eine konstante mittlere Lebensdauer t₅₀ = 10 h bei unterschiedlichen Standardabweichungen dargestellt. Um den Anteil zu berechnen, der von der Anfangsstückzahl vor der Zeit t ausfällt, muß man folgendes Integral lösen

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}p(t')\;dt'={\frac {1}{2\cdot \pi }}\int _{-\infty }^{u}\exp \left(-{\frac {u'^{2}}{2}}\right)\,du'\quad {\textrm {mit}}\quad u'={\frac {\ln \left({\frac {t'}{t_{50}}}\right)}{\sigma }}}$

Die Verteilungsfunktion kann durch Variablensubstitution in das Gaußsche Fehlerintegral übergeführt werden und stellt die kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeit dar. Für den Sonderfall der lognormalen Fehlerverteilung erhält man für die letzte Gleichung.

${\displaystyle F(t)={\frac {1}{2}}\cdot (1+\operatorname {erf} (z))}$

Upload on commons

original version history

1. (m) 17:24, 17. Feb 2006 Timo Müller (→Statistische Betrachtungen)
2. 01:50, 11. Feb 2006 Paddy
3. (m) 16:12, 14. Mär 2005 Paddy
4. 16:45, 27. Jan 2005 APPER
5. (m) 16:07, 4. Jul 2004 Anathema
6. 15:20, 4. Jul 2004 Paddy (Beschreibung)
7. 16:02, 3. Jul 2004 Paddy (Wahrscheinlichkeitsdichte)

Changes

• image: changed with upload on commons: removed wrong square brackets around the unit symbol
• description: changed licence tags, removed double licence tag, added english info