Einschrittverfahren

In der numerischen Mathematik ist ein Einschrittverfahren eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren werden hier zur Berechnung der Näherung an die Lösung keine Daten von vorhergehenden Zeitpunkten benutzt.

Definition

Ein Verfahren bei dem die numerische Näherungslösung $u_{i}\approx y(t_{i})$ des Anfangswertproblems:

$y'(t)=f(t,y(t))\;,\quad y(t_{0})=y_{0}$

mit einer Rekursionsformel der Art

$u_{i+1}:=u_{i}+h\Phi (t_{i},u_{i},u_{i+1},h,f)$

berechnet wird, heißt Einschrittverfahren. $\Phi$ heißt dabei Verfahrensfunktion oder Inkrementfunktion. Ist die Inkrementfunktion unabhängig von $u_{i+1}$ so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren, ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren. Implizite Verfahren sind bei steifen Anfangswertproblemen besser geeignet als explizite.

Die wichtigste Klasse von Einschrittverfahren sind die Runge-Kutta-Verfahren.

Beispiel: Das explizite Euler-Verfahren

Das explizite Euler-Verfahren

$u_{i+1}:=u_{i}+hf(t_{i},u_{i})$

ist ein Einschrittverfahren mit der Inkrementfunktion:

$\Phi (t_{i},u_{i},h,f):=f(t_{i},u_{i})$

Die implizite Form dieses Verfahrens ist das implizite Euler-Verfahren.

Literatur

• Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations 1. Nonstiff Problems ISBN 3-540-56670-8