Householder-Verfahren

Die Householder-Verfahren sind eine Gruppe von numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer skalaren reellen Funktion. Sie sind nach Alston Scott Householder benannt.

Beschreibung des Verfahrens

Sei d eine natürliche Zahl und $f\colon I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine mindestens (d+1)-fach stetig differenzierbare Funktion, die im Intervall I eine einfache Nullstelle a besitze, d. h. $f'(a)\neq 0$. Sei $x_{0}$ ein Startwert nahe genug an a. Dann konvergiert die durch die Iteration

$x_{k+1}=x_{k}+d{\frac {(1/f)^{(d-1)}(x_{k})}{(1/f)^{(d)}(x_{k})}}\quad {\text{mit }}k=0,1,2,\dots$

erzeugte Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ sukzessiver Approximationen mit Konvergenzordnung d+1 gegen a. Das heißt, es gibt eine Konstante K>0 mit

$|x_{k+1}-a|\leq K\cdot |x_{k}-a|^{d+1}$.

Für d=1 ergibt sich das Newton-Verfahren, für d=2 das Halley-Verfahren.

Motivation

Hat f eine einfache Nullstelle in a, so gibt es eine d-fach stetig differenzierbare Funktion g mit $g(a)=f'(a)\neq 0$ und $f(x)=g(x)(x-a)$. Die reziproke Funktion (1/f) hat einen Pol der Ordnung 1 in a. Liegt x nahe a, so wird die Taylorentwicklung von 1/f in x von diesem Pol dominiert,

${\begin{aligned}(1/f)(x+h)&=\sum _{k=0}^{d}(1/f)^{(k)}(x){\frac {h^{k}}{k!}}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\\[1em]={\frac {1}{g(x+h)(x+h-a)}}&={\frac {1}{g(x+h)(a-x)}}\sum _{k=0}^{d}\left({\frac {h}{a-x}}\right)^{k}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\end{aligned}}$

Betrachtet man g(x+h) als sich langsam ändernd bis nahezu konstant zu f'(a), dann sind die Taylorkoeffizienten umgekehrt proportional zu den Potenzen von (x-a), also

${\begin{aligned}&(1/f)^{(k)}(x)\approx {\frac {k!}{f'(a)\,(a-x)^{k+1}}}\\\implies &{\frac {(1/f)^{(k-1)}(x)}{(1/f)^{(k)}(x)}}\approx {\frac {a-x}{k}}\\\implies &a\approx x+k{\frac {(1/f)^{(k-1)}(x)}{(1/f)^{(k)}(x)}}\end{aligned}}$

für k = 1, …, d

Beispiel

Die von Newton zur Demonstration seines Verfahrens benutzte Polynomgleichung war $x^{3}-2x-5=0$. In einem ersten Schritt wurde beobachtet, dass es eine Nullstelle nahe x=2 geben muss. Durch Einsetzen von x=2+h erhält man erst

$f(2+h)=-1+10h+6h^{2}+h^{3}$

und anschließend durch Invertieren dieses Polynoms als Taylorreihe

${\begin{aligned}(1/f)(2+h)=&-1-10\,h-106\,h^{2}-1121\,h^{3}-11856\,h^{4}-125392\,h^{5}\\&-1326177\,h^{6}-14025978\,h^{7}-148342234\,h^{8}-1568904385\,h^{9}\\&-16593123232\,h^{10}+{\mathcal {O}}(h^{11})\end{aligned}}$

Das Ergebnis des ersten Schritts des Householder-Verfahrens einer gegebenen Ordnung d erhält man auch, indem man den Koeffizienten des Grades d durch seinen linken Nachbarn in dieser Entwicklung teilt. Dies ergibt folgende Näherungen aufsteigender Ordnung

d	x1=2+
1	0,100000000000000000000000000000000
2	0,094339622641509433962264150943396
3	0,094558429973238180196253345227476
4	0,094551282051282051282051282051282
5	0,094551486538216154140615031261963
6	0,094551481438752142436492263099119
7	0,094551481543746895938379484125813
8	0,094551481542336756233561913325371
9	0,094551481542324837086869382419375
10	0,094551481542326678478801765822985

Es ergeben sich also in diesem Beispiel etwas mehr als d gültige Dezimalstellen für den ersten Schritt im Verfahren der Ordnung d.

Quellen

• Alston Scott Householder, Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation, McGraw Hill Text, New York, 1970. ISBN 0-07-030465-3
• Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah and Xavier Gourdon, 2001 (Auf der Seite ist eine Postscript-Version mit korrekter Formeldarstellung verlinkt.)