Proximum

Das Proximum ist ein vor allem in der Numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt $x$ innerhalb einer $x$ nicht enthaltenden Menge $Y$ ist derjenige Punkt aus $Y$, der zu $x$ den geringsten Abstand hat.

Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $Y\subset X$ eine Teilmenge und $x\in X$ beliebig. Der Abstand des Elements $x$ zur Teilmenge $Y$ wird mittels der Distanzfunktion $\operatorname {dist}$ definiert durch

$\operatorname {dist} (x,Y):=\inf _{y\in Y}d(x,y)\,.$

Existiert nun ein $p\in Y$ mit:

$d(x,p)=\operatorname {dist} (x,Y)\,$

so nennt man $p$ Proximum oder Bestapproximation zu $x$ in $Y$.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum $(X,\lVert \cdot \rVert )$ zu tun. Ein Proximum $p$ zu $x\in X$ in $Y\subset X$ ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung

$\lVert x-p\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x-y\rVert$

Zur Existenz eines Proximums

• Sei $(X,d)\,$ ein metrischer Raum. $A\subset X$ sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $A$.

• Sei $(X,\lVert \cdot \rVert )$ ein normierter Raum. $V\subset X$ sei ein endlichdimensionaler Teilraum und $Y\subset V$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $Y$.

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a,b],U\subset C[a,b]$ ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für $f$ aus $U$ eindeutig bestimmt.

Sei $U$ ein endlichdimensionaler Unterraum von $C[a,b]$. Ist für jedes $f\in C[a,b]$ das Proximum aus $U$ eindeutig bestimmt, dann ist $U$ ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a,b],U\subset C[a,b]$ ein $n$-dimensionales Tschebyschow-System. $u_{0}\in U$ ist genau dann ein Proximum für $f$ aus $U$, wenn es $n+1$ Stellen $x_{i}$ mit $a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}\leq b$ gibt, so dass

• $|f(x_{i})-u_{0}(x_{i})|=\max _{x\in [a,\,b]}|f(x)-u_{0}(x)|$, $i=0,\ldots ,n$ (Extremalpunkt)
• $\operatorname {sign} \left(f(x_{i-1})-u_{0}(x_{i-1})\right)=-\operatorname {sign} (f(x_{i})-u_{0}(x_{i}))$, $i=1,\ldots ,n$ (alternierend)

Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

Proximum im Hilbertraum

Ist $X$ ein Hilbertraum und $Y\subset X$ eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem $x\in X$ genau ein $p\in Y$ mit

$\lVert x-p\rVert \leq \lVert x-y\rVert \,\,\forall \,y\in Y$.

Ist $Y$ ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum $p$ als Orthogonalprojektion von $x$ auf $Y$.

Literatur

• Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).