Residuum (Numerische Mathematik)

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Dieser Artikel erläutert den Begriff des Residuums, wie er vor allem in der Numerik verwendet wird; für andere Bedeutungen inner- und außerhalb der Mathematik siehe Residuum.

Als Residuum bezeichnet man in der Mathematik, speziell in der numerischen Mathematik, die Abweichung vom gewünschten Ergebnis, welche entsteht, wenn in eine Gleichung Näherungslösungen eingesetzt werden. Angenommen, es sei eine Funktion f gegeben und man möchte ein x finden, so dass

f(x)=b.

Mit einer Näherung x_0 an x ist das Residuum r

r = b - f(x_0),

der Fehler hingegen

x_0 - x.

Der Fehler ist in der Regel unbekannt, da x unbekannt ist, weswegen dieser als Abbruchkriterium in einem numerischen Verfahren nicht benutzbar ist. Das Residuum ist dagegen stets verfügbar.

Wenn das Residuum klein ist, folgt in vielen Fällen, dass die Näherung nahe bei der Lösung liegt, das heißt

\frac{\|x_0 - x\|}{\|x\|} \ll  1.~

In diesen Fällen wird die zu lösende Gleichung als gut gestellt angesehen und das Residuum kann als Maß der Abweichung der Näherung von der exakten Lösung betrachtet werden. Bei linearen Gleichungssystemen können sich die Norm des relativen Fehlers und die Norm des relativen Residuums um den Faktor der Kondition unterscheiden, also

\frac{\|x_0 - x\|}{\|x\|} \le \kappa(A) \frac{\|Ax_0 - Ax\|}{\|Ax\|} = \kappa(A) \frac{\|Ax_0 - b\|}{\|b\|} ~

Residuum einer Approximation an eine Funktion[Bearbeiten]

Analog wird der Begriff des Residuums für Differential-, Integral- und Funktionalgleichungen verwendet, bei denen anstelle einer Zahl x eine Funktion f gesucht ist, die eine Gleichung

T(f)=g

erfüllt. Für eine Approximation f_0 an f ist das Residuum die Funktion

g - T(f_0).

Als Maß für die Güte der Approximation kann dann zum Beispiel das Maximum der Norm der Differenz

\max_{x\in \mathcal X} |g(x)-T(f_0)(x)|

über den Bereich \mathcal X, in dem die Funktion f_0 die Lösung f approximieren soll oder auch ein Integral wie

\int_{\mathcal X} |g(x)-T(f_0)(x)|^2~{\rm d} x

gewählt werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • C. T. Kelley: Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, SIAM, ISBN 0-89871-352-8
  • R. Schaback, H. Wendland: Numerische Mathematik, 5. Auflage, Springer, 2005